ПОДВІЙНІ І ДУАЛЬНІ ЧИСЛА

Подвійні і дуальні числа - гіперкомплексні числа виду а + bе, де а і b - дійсні числа, і для подвійних чисел е 2 = +1, а для дуальних чисел e 2 = 0. Додавання Д. і д. ч. визначається формулою

Комплексні числа, подвійні числа та дуальні числа зв. також комплексними числами гіперболічного, еліптичного та параболічного типів відповідно. Іноді з допомогою цих чисел зображують руху тривимірних просторів Лобачевського, Рімана і Евклида (див., напр., Гвинтове числення).

Як подвійні, і дуальні числа утворюють двовимірні (з базою 1 і е) асоціативно-комутативні алгебри над полем дійсних чисел. На відміну від поля комплексних чисел ці алгебри містять дільники нуля, причому в алгебрі подвійних чисел усі дільники нуля мають вигляд a ≠ ae. Алгебра подвійних чисел може бути розкладена на пряму суму двох полів дійсних чисел. З цією властивістю пов'язана ще одна назва подвійних чисел - комплексні числа, що розщеплюються. Зустрічається й інше найменування подвійних чисел – паракомплексні числа. Алгебра дуальних чисел розглядається як над полем ℝ дійсних чисел, а й над довільним полем чи коммутативним кільцем. Нехай A – комутативне кільце з одиницею і М є А-модуль. Пряма сума А-модулів А ⊕ M щодо множення

(а, m)(а', m') = (аа', аm' + а'm)

є комутативною А-алгеброю та позначається IA(М). Вона зв. алгеброю дуальних чисел щодо модуля М. A-модуль М ототожнюється з ідеалом алгебри IA(М), службовцем ядром гомоморфізму, що поповнює.

При цьому квадрат М 2 даного ідеалу дорівнює нулю, а IA(М) / М ≃ А. Якщо А - регулярне кільце, то вірно і зворотне: якщо є А -алгебра і М - ідеал в такій, що М 2 = 0 і В / М ≃ А, то В ≃ IA(М), де М розглядається як А-модуль (див.[4]).

При М = А алгебра IA(М) (яка позначається в цьому випадку IA) ізоморфна факторалгебри алгебри багаточленів А(Т) за ідеалом Т 2 . Багато властивостей A-модуля М можна переформулювати як властивості алгебри IA(М), що дозволяє зводити багато питань про А-модулі до відповідних питань у теорії кілець (див. [2]).

Літ.: [1] Мамфорд Д., Лекції про криві на поверхні алгебри, пер. з англ., М., 1968; [2] Fossum R., Trivial extensions of abelian categories, Ст, 1975; [3] Schémas en groupes, I, B., 1970; [4] Lichtenbaum S., Schlessinger M., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1967, v. 128 № 1, p. 41-70.

  1. Математична енциклопедія: Гол. ред. І. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Радянська Енциклопедія», 1979.-1104 стб., іл.