Похідна та оператор диференціювання, LightCone
Значення диференціального та інтегрального обчислень важко переоцінити. Фактично сучасна наука і почалася з відкриття Ньютоном законів механіки та розробки ним відповідного математичного апарату для аналізу наслідків цих законів. З того часу математика була і залишається тісно переплетеною з фізикою. Іноді для фізики використовується розроблений математиками апарат, як у випадку із загальною теорією відносності Ейнштейна. Іноді фізики зі своїх міркувань приходять до нових математичних структур, наприклад, так було з узагальненими функціями, першу з яких запровадив Дірак для потреб квантової механіки.
Похідна та інтеграл засновані на поняттях про нескінченно малих та можливості розподілу відрізка до нескінченності. З погляду фізики існування мінімальної довжини суперечить теорії відносності, адже різні спостерігачі побачать різну довжину. Так само є вагомі підстави вважати, що розподіл відрізка до нескінченності теж неможливий, оскільки поняття довжини втрачає свій сенс на малих відстанях (порядку (displaystyle 10^)). Незважаючи на це, вся сучасна наука (у тому числі квантова механіка і теорія струн) просякнута диференціальним обчисленням. Навіть дискретні результати типу квантування енергетичних рівнів атомів виходять із розгляду безперервних функцій та диференціальних рівнянь.
Похідна функції у будь-якій точці визначення це ставлення інтервалу \( \displaystyle \Delta y\) до інтервалу \( \displaystyle \Delta x\) в околиці цієї точки, коли довжини цих інтервалів прагнуть до нуля. На малюнку для прикладу показано дві точки з відповідними інтервалами.
\( \displaystyle f'(x)=\frac=\frac\) при \( \Delta x\rightarrow 0\)
де через \( \displaystyle dx\) і \( \displaystyle dy\) позначають диференціали (difference - різниця), тобто ті самі нескінченні інтервали - різниця декартових координат поточної та наступної точок.
У науковій літературі позначення похідної штрихами мало використовується, а запис як відносини диференціалів загальноприйнята. По суті, це і є визначення похідної.
З малюнка видно, що навіть за однакового \( \displaystyle \Delta x\) відповідна величина \( \displaystyle \Delta y\) буде різною. Кожній точці безперервної функції \( \displaystyle f(x)\) можна зіставити число - похідну функції у цій точці. Сукупність цих точок теж буде безперервною функцією похідної вихідної функції.
Фізичним змістом похідної є швидкість зміни вихідної функції. Достатньо подивитися на малюнок вище щоб зрозуміти. У районі першої точки функція швидко змінюється. Похідна буде мати велику величину тому що \(\displaystyle\Delta y\) велика. І вона буде негативною, тому що \(\displaystyle y(x_+\Delta x) Розділ: Математика