Поняття об’єму тіла
Для найпростіших тіл, тобто. якщо його можна розбити на кінцеве число трикутних пірамід, - це позитивна величина, яка має наступні властивості:
- Рівні тіла мають рівні обсяги
- Якщо тіло розбите на частини, що є простими тілами, то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.
- Об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці
65. Об'єм прямокутного паралелепіпеда. Обсяг довільної призми (висновок).
Об'єм прямокутного паралелепіпеда з лінійними розмірами a, b, c обчислюється за формулою V = abc
Дано довільну призму. У її основі лежить багатокутник. Провівши в ньому діагоналі, що виходять з однієї вершини, розбиваємо багатокутник на трикутники (рис. 39). Перерізи, проведені через ці діагоналі та відповідні бічні ребра призми поділяють її на певну кількість n трикутних призм. Для призми з номером k обсяг дорівнює
де Sk – площа її основи, H – висота первісної призми.Складаючи обсяг трикутних призм, отримуємо обсяг початкової призми :
66. Об'єм піраміди (висновок). Об'єм усіченої піраміди.
Нехай SABC – трикутна піраміда з вершиною S та основою ABC. Доповнимо цю піраміду до трикутної призми з тією ж основою та висотою. Ця призма складена з трьох пірамід: даної піраміди SABC та ще двох трикутних пірамід SCC1B1 та SCBB1. У другої та третьої пірамід рівні основи - ΔCC1B1 і ΔB1BC і загальна висота, проведена з вершини S. Тому у них рівні обсяги. У першій і третій пірамід теж рівні основи - ΔSAB і ΔBB1S і збігаються висоти, проведені з вершини C. Тому у них теж рівні обсяги. Отже, всетри піраміди мають один і той самий обсяг. Оскільки сума обсягів дорівнює обсягу призми, то обсяги пірамід дорівнюють . Обсяг будь-якої трикутної піраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту:
Є усічена піраміда з площами основ S1 та S2 (S1>S2) та висотою h.
Тоді обсяг усіченої піраміди дорівнює:
67. Об'єм циліндра (виведення)
Знайдемо об'єм циліндра з радіусом основи R і висотою H. Побудуємо дві прямі призми з висотою H такими, що основа однієї призми є n-кутник, що містить коло, а основа другої призми n-кутник, що міститься в колі. Тоді перша призма містить циліндр, а друга призма міститься у циліндрі. При необмеженому збільшенні n площі багатокутників наближаються до площі кола S(основі циліндра) і, отже, їх обсяги необмежено наближаються до SH. Тоді
Об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту.
69. обсяг конуса (висновок). Об'єм усіченого конуса.
Побудуємо два багатокутники в площині основи конуса: багатокутник P, що містить основу конуса, і багатокутник P`, що міститься в основі конуса. Побудуємо дві піраміди з основами P і P` та вершиною у вершині конуса. Перша піраміда містить конус, а друга піраміда міститься у конусі. Існують такі багатокутники P і P, площі яких при необмеженому збільшенні числа їх сторін n необмежено наближаються до площі кола в основі конуса. Для таких багатокутників обсяги збудованих пірамід необмежено наближаються до 1/3 SH, де S – площа основи конуса, а H – його висота. Відповідно до визначення звідси випливає, що обсяг конуса
Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі основи нависоту.
Нехай є усічений конус з радіусами основ R1 і R2 (R2 Тоді обсяг усіченого конуса дорівнює:
70. Об'єм кулі (виведення). Об'єм кульового сектора, обсяг кульового сегмента.
Застосовуючи формулу обсягу тіл обертання обчислимо обсяг кулі.
Введемо декартові координати, прийнявши центр кулі початок координат. Площина xy перетинає поверхню кулі радіуса R по колу, що задається формулою Півколо, розташована над віссю x, задається рівнянням Тому обсяг кулі визначається за формулою
Кульовим сектором називається тіло, яке виходить з кульового сегмента та конуса наступним чином. Якщо кульовий сегмент менший за півкулі, то кульовий сегмент доповнюється конусом, у якого вершина в центрі кулі, а основою є основа сегмента. Якщо сегмент більше півкулі, то зазначений конус з нього видаляється. Обсяг кульового сектора виходить додаванням або відніманням обсягів відповідних сегмента і конуса. Для обсягу кульового сектора виходить така формула:
, де R - радіус кулі, а H - висота відповідного кульового сегмента.
Кульовим сегментом називається частина кулі, що відсікається від нього площиною. Формулу для об'єму кульового сегмента отримуємо аналогічно формулі об'єму кулі:
де R - радіус кулі, а H - висота кульового сегмента.