Поняття подоби
Особливе місце серед математичних моделей посідають такі. Якщо за аналогії двох об'єктів поширення властивостей одного об'єкта на інший носить характер припущення і потребує перевірки, то при подібності знання властивостей одного об'єкта означає знання властивостей іншого об'єкта.
Подібність - це повна математична аналогія за наявності пропорційності між подібними змінними, що незмінно зберігається при всіх можливих значеннях цих змінних, що задовольняють подібним рівнянням.
Вперше поняття «подібність» з'явилося в геометрії.
Геометрична подоба – визначають подібність геометричних фігур за подібними характеристиками. Багатокутник з певною кількістю сторінn, подібний до іншого багатокутника з такою ж кількістю сторінn, якщо відповідні кути багатокутників рівні, а відповідні сторони пропорційні. Визначення геометричної подібності багатокутників, на прикладі трикутників, полягає в наступному:
трикутники подібні, якщо у них подібні сторони пропорційні, а подібні кути рівні, тобто виконуються такі рівності:
Рис.5 Подібність трикутників
, (1)
де mL та mm - масштабні коефіцієнти (масштаби) величин сторін та кутів, що характеризують пропорційність подібних параметрів.
(Застереження: якщо mL і mm називаються масштабними коефіцієнтами, то величини обернені їм , тобто 1/mL і 1/mm будуть називатися масштабами і позначатися, відповідно, ML і Mm або навпаки, або взагалі не робиться різницю між термінами «масштаб» і «масштабний коефіцієнт»).
Насправді при геометричному подобі використовуються характеристики довжин сторін багатокутника, які координати.
Якщо запровадити систему прямокутних координат X, Y, то за геометричному подобі всі координати xiA, yiA першого багатокутника пропорційні відповідним координатам xiB, yiB другого багатокутника, тобто. виконуються співвідношення
де xi та yi координати будь-якої точки, що знаходиться на відрізках прямих, що визначають контури відповідного багатокутника; mx і my – масштаби.
Цей вид подібності може існувати й у просторі більшої розмірності: трьох - і більш мірному.
Подальший розвиток поняття подібності є -афінна подоба, при якому допускається нерівність масштабів за окремими координатними осями.
Рис.6 Перетворення паралелепіпеда в куб.
При афінній подобі для подібних точок у тривимірному координатному просторі будуть справедливі наступні співвідношення:
У цьому потрібно запровадження спеціальних перетворюючих функцій, здійснюють взаємозв'язок між координатами моделей і об'єкта, часто - нелінійних.
Приклад: встановити умови афінної подоби на рис. 4, відрізки ліній e1 - l1 є лінійно подібними лініями e2 - l2, точки e1, f1, g1, h1, i1 відповідають точкам e2, f2, g2, h2, i2.
Рис.7 Нелінійне перетворення
Рівняння для контурів e1 - i1 та e2 - i2 має вигляд:
Вводяться масштабні коефіцієнти Fx = x1 / X1 і Fy = y1 / Y1, вид яких поки невідомий, для рівняння першого контуру можна записати:
де X1 та Y1 перетворені в область B значення x1 та y1 з області A. Після тотожних перетворень рівняння виглядає:
таким чином Fx = Öx1/2; Fy = Ö y1 / 2 і, отже:
У наведеному прикладі функції перетворення Fx та Fy мають однаковий вигляд, але нелінійний характер.
Наступний приклад: дано дві подібні функції: якщо масштаби my = y1 / y2: mx = x1 /x2, відповідно рівні 2 і 4, то функції подібні.
Рис.8 Подібні функції (приклад)
У цьому прикладі змінні мають різні масштабні коефіцієнти координатних осях.
Приклад. Є два генератори змінного струму. Їх визначає функція залежності напруги від часу: і . Вирази для масштабів мають вигляд mu=u1/u2, mt=t1/t2. Час, що входить в одну формулу і час, що входить в іншу формулу мають цілком певний фізичний зміст, так як t1 і t2 такі різні значення однієї й тієї ж величини t, при яких фіксуються значення різних залежних змінних u1(t) і u2(t) .
Фізична та тимчасова подоба має місце при mu = 10 та mt = 2. Масштаб mu показує відношення амплітуд напруг u1 та u2, масштаб mt – відношення періодів T1 = 4c та T2 = 2c.
Рис.9 Подібність генераторів (приклад)
У випадку тимчасового подоби безрозмірний масштаб часу становить відношення подібних часових інтервалів, яким відповідає незмінне ставлення значень чи прирощень подібних часових функцій. Цими параметрами можуть бути періоди коливань (як приклад), постійні часу, тривалості перехідних процесів, тимчасові затримки тощо.
Якщо, наприклад, є дві подібні до САУ, то, встановивши час перехідного процесу однієї з них t1 і знаючи тимчасовий масштаб mt, можна знайти час перехідного процесу іншої системи: t2 = t1 / mt.