Popular Lectures on Mathematics Books
Теорема про додаток.З двох різних цілком упорядкованих множин одне є лівий промінь іншого.
Таке формулювання потребує уточнення. Коли в математичних міркуваннях розглядають деякі об'єкти, відразу обмовляють, які з них вважати рівними, еквівалентними. Наприклад, коли вивчають групи, їх розглядають із точністю до ізоморфізму *18 . Так і тут, ми розглядаємо цілком упорядковані множини з точністю доізоморфізму, тобто з точністю до відображення, що зберігає порядок (aЫf(a) *18 Нам не важливо, коли в групі два елементи, це 0 і 1 або слон і жираф Якщо таблиця множення слона на жирафа така ж, як нуля на одиницю, ну і гаразд.
Доказочевидно щодо трансфінітної індукції. Введемо трансфінітну індукцію по першій множині. Відправимо найменший елементAнайменший елементB. Далі, нехай всі aA, менші деякого a 0, вже відправлені в елементиB. Якщо уBще залишилися елементи без прообразів, виберемо серед них найменший і відправимо в нього a 0, якщоBелементи без прообразів скінчилися, тоB& #8211 лівий проміньA. Інакше чекаємо, поки закінчитьсяA.
Визначення.Назвемоординаломцілком упорядковане безліч. (Знову ж таки, насправді ми називаємо ординалом не безліч, а клас еквівалентності цілком упорядкованих множин по відношенню "ізоморфно".) Між ординалами можна ввести відношення порядку за допомогою теореми про додаток, тобтоA. Потім йде 1*19. Наступний ординал – це 2, потім 3, і т. д. Далі йде ординал "натуральні числа", який позначають w . Якщо після всіх натуральних чисел поставити найбільше число (отримаємо послідовність, що сходить), то буде w+ 1, і т. д., до w + w (або 2 w), тобто до двох послідовностей, що сходяться одна за одною. Далі 3 w, 4 w і т. д., до w · w. Цей ординал можна уявити так: візьмемо послідовністьan= [ 1/(n)], і до кожного елемента приставимо по послідовності, що збігається
| Мал. 10 |
| Ж , 1, 2, 3, . w , w + 1, w + 2, . w + w, 3 w,. w · w , w 3 , . w 1, . |
| *19 Насправді це, звичайно, < Ж >, але оскільки всі вже у школі звикли писати 1, то. |
Що таке кардинали? Деякі ординали мають особливу властивість, а саме, вони нерівноважні ніякому своєму лівому променю. Такі ординали називаютьсяпочатковими, абокардиналами. (Кардинали насправді ще можна визначити так: це класи еквівалентності множин по відношенню "рівноважно".) Ні ординали, ні кардинали не утворюють множини, але ці "множини" в певному сенсі однакові (можна застосувати дещо формалізовану теорему про додаток для класу ординалів та класу кардиналів).
11.1. Континуум-гіпотеза
Теорема.2 w = c = [0, 1] не можна уявити як об'єднання лічильного числа множин потужності менше континууму 7 .
Інакше це можна сказати так: якщо континуум розбитий в об'єднання лічильного числа множин, то хоч одне з них має потужність континуум. Якби ми знали, що безліч потужності менша за континуум рахункова, то всеЗрозуміло: лічильне об'єднання лічильних множин лічильно. Але ми цього не знаємо. Проте спробуйте довести цю теорему.
Аналогічно можна довести загальне твердження:
| 2 a > | І b a | g b , де g b a , |
Теорема.Теорема, викладена вище, і відношення порядку, введене нами між кардиналами, це єдині обмеження на весь ланцюжок кардиналів (тобто з урахуванням цих двох умов "може бути все що завгодно ").
Це означає таке. Багато років математики намагалися довести чи спростувати природне твердження, яке називається континуум-гіпотезою:
| 2 a = a + , |
У 1930-і роки Гедель довів, що континуум-гіпотеза несуперечлива зі стандартною аксіоматикою, в 1960-і роки Коен зрозумів, що заперечення континуум-гіпотези також несуперечливе з цією аксіоматикою, в 1980-ті була саме доведена теорема можливо все що завгодно".
Як взагалі можна довести, що деяке твердження несуперечливе з якоюсь аксіоматикою, наприклад, з аксіоматикою Цермело–Френкеля? Потрібно його додати до цієї аксіоматики і побудувати модель для системи тверджень, що вийшла. Одна з моделей будується досить просто: потрібно акуратно викинути з ланцюжка кардиналів всі проміжні між a + і 2 a для кожного a тоді континуум-гіпотеза буде виконуватися. Друга модель дещо складніша.
11.2. Найбільший кардинал
Іноді фахівці з теорії множинпочинають грати в гру: хто назве більше, хто придумає найбільший кардинал. І такі ігри призводять до цілком змістовних ухвал і теорем.
Назвемо кардинал aдуже недосяжним, якщо для будь-якого кардинала b, меншого a, безліч усіх підмножин b строго менше a. Назвемо кардинал aвимірним по Уламу, якщо існує рахунково-адитивна міра m на множині всіх підмножин a , що приймає на кожній множині значення або 0, або 1, причому m ( Ж ) = 0, m ( a ) = 1. Також потрібно вимагати, щоб m не була так званою d-заходом, тобто не мала вигляд
| m (A) = | м н про |
| 1 , |
Такі досить дивні визначення по-різному формалізують уявлення про дуже великі, величезні кардинали. Відразу виникають цікаві властивості таких множин.
4.Якщо a – вимірний по Уламу кардинал, то a сильно недосяжний.
Виникає природне питання про існування таких кардиналів (важливо, що він не впливає на сформульовану вище вправу; якщо навіть ні той, ні інший кардинали не існують, ніхто не забороняє доводити твердження, що їх пов'язують). Сформулюємо пояснює все завдання.
5.Довести, що якщо існує дуже недосяжний кардинал, то теорія множин зі стандартною системою аксіом Цермело–Френкеля несуперечлива.
Як відомо, доводити несуперечність теорії множин складно. Навіть існуєтеорема, що говорить про те, що це зробити досить проблематично. Звідси видно, що сформульоване твердження дуже сильне за своєю суттю. Спробуємо надати ідею його докази.
Справді, якщо існує дуже недосяжний кардинал, то сукупність усіх менших кардиналів замкнута щодо теоретико-множинних операцій (об'єднання, перетин і т. д.), тобто утворює внутрішню модель теорії множин. Оперуючи кардиналами з цієї сукупності, ми ніколи не вийдемо за межі нашого сильно недосяжного кардинала. Отже, засобами самої теорії множин ми побудували модель цієї теорії множин, тобто довели її несуперечність. 7 c – загальноприйняте позначення для потужності відрізка [0,1].