Потапов М
§ 4. Ступінь позитивного числа
4.1. Ступінь із раціональним показником
Рішення. 1) 4 a 1,5 − 8 − a 0,5 − 2 a + 2 a 0,5 + 4 = 4 a 1,5 − 8 − ( a 0,5 − 2 ) 2 ( a 0,5 − 2 ) ( a + 2 a 0,5 + 4 ) = = 4 a 1,5 − 8 − a − 4 a 0,5 + 4 a 1,5 − 8 = − a + 4 a 0,5 a 1,5 - 8;
2) − a + 4 a 0,5 a 1,5 − 8 ⋅ a 2 − 8 a 0,5 a − 16 = − a 0,5 ( a 0,5 − 4 ) a 0,5 ( a 1, 5 − 8 ) ( a 1,5 − 8 ) ( a 0,5 − 4 ) ( a 0,5 + 4 ) = − a a 0,5 + 4 ;
3) B = − a a 0,5 + 4 − 4 a 0,5 a 0,5 + 4 = − a 0,5 (a 0,5 + 4) a 0,5 + 4 = − a 0,5 . Підкреслимо, що всі перетворення виразу B тут проведені для тих а, для кожного з яких всі вирази, що розглядаються, мають сенс, тобто для будь-яких а, таких, що a ≥ 0 , a ≠ 4 , a ≠ 16 .4.23. а) Чи може значення виразу A = x 1 1 3 − x 1 3 x 1 3 − x − 2 3 + 0,25 − 1,5 − 9 ( x − 2 ) 0 дорівнювати 1?Рішення. Спочатку перетворимо вираз А, вважаючи, що x & gt; 0 , x ≠ 1 , x ≠ 2 , тому що в іншому випадку цей вираз не визначено:
A = x 1 3 ( x − 1 ) x − 2 3 ( x − 1 ) + ( 1 4 ) − 3 2 − 9 ⋅ 1 = x + 8 − 9 = x − 1 .
Тепер з'ясуємо, чи існує таке х, яке б задовольняло умовам x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ 2 при якому
Рівняння (1) має єдиний корінь x = 2. Це означає, що немає такого x, що задовольняє умовам x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ 2 , при якому правильна рівність (1). Отже, вираз А не може дорівнювати 1. Проміжний контроль. З-18.
4.3. Поняття межі послідовності
У цьому пункті спочатку вводиться поняття нескінченно малої (послідовності чи змінної), у своїй на базовому рівні не формалізується термін «прагнути», досить навчити школярів із запропонованих змінних правильно знаходити нескінченно малі.Формальне визначення нескінченно малої мовою «ε − N» у підручнику є, вводиться також поняття нескінченно велике. Вони призначені для поглибленого вивчення математики. Поняття межі послідовності формується з допомогою поняття нескінченно малої. Звернімо увагу, що деяким учням завдання4.25 і4.29 можуть здатися складними, оскільки де вони вміють ділити многочлен на одночлен, двучлен. Треба порадити їм подавати ці дроби у вигляді суми дробів. У дидактичних матеріалах (п. 19) розібрано ряд прикладів на поняття межі послідовності.
Так як п > 0, то нерівність (1) перепишемо у вигляді
Так як п > 0 та ε > 0, то нерівність (2) рівносильна нерівності
Так як п > 0, то нерівність (3) перепишемо у вигляді
4.4*. Властивості меж
У даному пункті наведено властивості меж суми, різниці, твору та частки та властивість винесення постійного множника за знак межі. Докази цих властивостей не передбачені програмою та у підручнику не наведені.
Проміжний контроль. З-19.
4.5. Нескінченна спадна геометрична прогресія
У цьому пункті нагадується формула п-го члена геометричної прогресії, формула суми перших п її членів. Звернімо увагу на особливість термінології: не всяка нескінченно спадна прогресія є спадною прогресією. Якщо − 1 q 0 , то прогресія не є спадною, наприклад, геометрична прогресія 1, − 1 2 , 1 4 , − 1 8 , . не спадна, але вона є нескінченно спадною прогресією, тому що q = − 1 2 і q 1 . З нескінченно спадаючою прогресією пов'язана відома психологічна труднощі, яку учням важко подолати: буквою S позначили суму нескінченного числа доданків a + a q + a q 2+ … , нескінченний процес додавання завершити неможливо, однак сума існує і обчислюється за формулою a 1 q. Наведемо два приклади, які дозволять примирити учнів з думкою, що нескінченний процес складання може мати кінцевий результат. 1) Якщо довжину відрізка 1 3 м виразити десятковим дробом, то вийде 0,3333. м, або 0,3+0,03+0,003+0,0003+. м. 2) Якщо площа квадрата дорівнює 1 і зафарбовують спочатку половину квадрата, потім половину незафарбованої частини, потім половину незафарбованої частини квадрата, що залишилася і т. д., то процес зафарбовування нескінченний, але очевидно, що «в межі» площа зафарбованої частини квадрата дорівнює площі квадрата, тобто дорівнює 1. Це підтверджує і застосування формули суми нескінченно спадної прогресії: 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + … = 1 2 1 − 1 2 = 1 (див. завдання4.38 а).
4.40. а) Доведіть, що число 0,3 є сума ряду 0,3 + 0,03 + 0,003 + . .Рішення. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії 0,3 + 0,03 + 0,003 + . дорівнює дробу 0,3 1 − 0,1 = 1 3 , а дріб 1 3 дорівнює нескінченному періодичному десятковому дробу 0,(3). Таким чином, сума ряду 0,3+0,03+0,003+. = 0, (3). Завдання4.43 та4.44 є завданнями для самостійних розрахунків. Практика показує, що є мало десятикласників, здатних самостійно намітити план вирішення таких завдань. Найчастіше цей план доводиться намічати вчителю чи вирішувати з учнями перше завдання для те, що хтось із них зможе вирішити друге.4.43. Сторони квадрата (рис. 21, а) розділили на 3 рівні частини. На кожній середній частині у зовнішню область збудували новий квадрат і цю середню частину видалили. Вийшла постать, зображена малюнку 21, б. Потім кожну сторону отриманої фігури розділили на 3рівні частини. На кожній середній частині збудували новий квадрат у зовнішню область і цю середню частину видалили. Вийшла постать, зображена малюнку 21, в. Тим самим способом отримали третю фігуру (рис. 21, г) і т.д.
s n = k n ⋅ ( a n ) 2 = 4 ⋅ 5 n − 1 ⋅ ( a 3 n ) 2 = 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) n − 1 .
Сума площ всіх нових квадратів, отриманих у перетвореннях з 1-го по n-е, є сумою перших n членів геометричної прогресії, вона дорівнює
s 1 + s 2 + s 3 + … + s n = 4 9 a 2 + 4 9 a 2 ⋅ 5 9 + 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) 2 + … … + 4 9 a 2 ⋅ ( 5 9 ) n − 1 = 4 9 a 2 ( 1 + 5 9 + ( 5 9 ) 2 + … + ( 5 9 ) n − 1 ) = = 4 9 a 2 ⋅ 1 − ( 5 9 ) n 1 − 5 9 = a 2 ⋅ ( 1 − ( 5 9 ) n ) = a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n .
Тоді площа S n фігури F n є S n = a 2 + a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n , вона прагне a 2 + a 2 = 2 a 2 при n → + ∞ .Відповідь. a) S n = 2 a 2 − a 2 ⋅ ( 5 9 ) n ; б) 2 a 2; в) P n = 4 a ⋅ (5 3 ) n; г) P n → + ∞ при n → + ∞ .
4.7. Поняття ступеня з ірраціональним показником
4.49. Між якими двома сусідніми натуральними числами укладено число 2 2? Оскільки 1 2 2 , то 2 1 2 2 2 2 , тобто 2 2 2 4 . Але праву нерівність можна уточнити. Оскільки 1,4 2 1,5 , то 2 2 2 1,5 . Оскільки 2 1,5 = 2 2 = 2,8 … 3 , то 2 2 3 . Отже, 2 2 2 3 .4.50. Побудуйте незнищувальну послідовність, межею якої є число 2 π (π = 3,1415926 …).Відповідь. 2 3, 2 3,1, 2 3,14, 2 3,141, 2 3,1415, ….Додаткове питанняз. Чому побудована послідовність є незменшною, а не строго зростаючою?Відповідь. Тому що в якомусь розряді числа π може зустрітися цифра 0, тоді два сусідні члени послідовності виявляться рівними.4.51. а) Обчисліть 2 3 ⋅ 2 2 − 3.Рішення. Перетворимо твір, використовуючи властивість 1 ступеня:
2 3 ⋅ 2 2 − 3 = 2 3 + 2 − 3 = 2 2 = 4 .
4.8. Показова функція
У пункті вводиться функція y = a x де a > 0, a ≠ 1, x ∈R, розглядаються властивості цієї функції та її графік. Ці властивості будуть використовуватися в подальшому при доведенні властивостей логарифмічної функції при вирішенні показових рівнянь і нерівностей.
4.59. Визначте графічним способом, скільки коренів має рівняння 2 x = x 2 . При вирішенні цього завдання учні зазвичай обмежуються розглядом графіків функцій у звичних межах для y ≤ 10 і знаходять лише дві точки перетину графіків. А їх три (рис. 22). Тому рівняння 2 x = x 2 має три корені, один з яких негативний, а два інші позитивні: x = 2 та x = 4 .
Проміжний контроль. Контрольна робота №3.