Позакласний урок - Рівняння та нерівності з модулем
Рівняння та нерівності з модулем
Модулем числа називається саме це число, якщо воно невід'ємне, або це число з протилежним знаком, якщо воно негативне.
Наприклад, модулем числа 6 є 6, модулем числа -6 теж 6.
Тобто, під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.
(Докладніше – у розділі «Модуль числа»).
Рівняння з модулем.
приклад 1 . Вирішити рівняння
Відповідно до правила, рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:
│10х = 15 + 5 = 20 │10х = -15 + 5 = -10
Приклад 2 . Вирішити рівняння
Оскільки модуль – число невід'ємне, то х + 2 ≥ 0. Відповідно:
Складаємо два рівняння:
Обидва числа більші –2. Отже, обидва є корінням рівняння.
Приклад 3 . Вирішити рівняння
Рівняння має сенс, якщо знаменник не дорівнює нулю – отже, якщо х ≠ 1. Врахуємо цю умову. Наша перша дія проста - не просто звільняємося від дробу, а перетворимо її так, щоб отримати підмодульне вираз у чистому вигляді:
Тепер у нас у лівій частині рівняння лише вираз під модулем. Йдемо далі.
Модуль числа є невід'ємним числом - тобто він повинен бути більше нуля або дорівнює нулю. Відповідно, вирішуємо нерівність:
Таким чином, у нас з'явилася друга умова: корінь або коріння рівняння має бути не менше 3/4.
Відповідно до правила модуля складаємо сукупність двох рівнянь та вирішуємо їх:
Ми отримали дві відповіді. Перевіримо, чи є вони корінням вихідного рівняння.
У нас було дві умови: корінь рівняння повинен бути не менше 3/4, але не може дорівнювати 1. Тобтох ≠ 1, х ≥ 3/4. Обом цим умовам відповідає лише одна з двох отриманих відповідей – число 2. Значить, тільки воно і є коренем вихідного рівняння.
Нерівності з модулем.
приклад 1 . Вирішити нерівність:
Отже, у нас у відповіді об'єднання двох множин:
Число х може бути і позитивним числом, і негативним, і банкрутом. Тому нам треба врахувати усі три обставини. Як ви знаєте, вони враховуються у двох нерівностях: х ≥ 0 та х 2 – х – 2 ≤ 0.
Тепер про другий випадок: якщо х 2 - (-х) - 2 ≤ 0.
Таким чином, ми отримали дві системи рівнянь:
Як вирішується квадратне рівняння – див. розділ «Квадратне рівняння». Ми ж одразу назвемо відповідь:
З першої системи нерівностей ми отримуємо, що рішенням вихідної нерівності є безліч чисел від –1/2 до 2/3. Пишемо об'єднання рішень за х ≥ 0: [–1/2; 2/3].