Позначення похідної у фізиці

Переходячи до фізичних додатків похідної, ми використовуватимемо дещо інші позначення ті, які у фізиці.

змінюється позначення функцій. Справді, які функції ми збираємось диференціювати? Цими функціями служать фізичні величини, залежні від часу. Наприклад, координата тіла x(t) та його швидкість v(t) можуть бути задані формулами:

x(t) = 1 + 12t 3t 2;

Таким чином, аргументом функції тепер є час t, а буква x відтепер позначає функцію координати точки.

змінюється позначення похідної. Штрих у фізиці зарезервований для інших цілей, і замість нього ми використовуємо крапку над літерою:

похідна функції x(t) позначається x(t)

(читається ?ікс з точкою¿).

Є ще одне позначення похідної, дуже поширене як у математиці, і у фізиці:

похідна функції x(t) позначається

(читається ¾де ікс по де тэ¿).

Зупинимося докладніше у сенсі позначення ( 1.16 ). Математик розуміє його подвійно або як межа:

або як дріб, у знаменнику якої стоїть збільшення часу dt, а чисельнику так званий диференціал dx функції x(t). Поняття диференціала не складно, але ми не будемо його зараз обговорювати; воно чекає на вас на першому курсі.

Фізик, не скований вимогами математичної строгості, розуміє позначення ( 1.16 ) більш неформально. Нехай dx є зміна координати за час dt. Візьмемо інтервал dt настільки маленьким, що ставлення dx=dt близько до своєї межі ( 1.17 ) з точністю, що влаштовує нас.

І тоді, скаже фізик, похідна координати за часом є просто дріб, у чисельнику якого стоїть досить мала зміна координати dx, а в знаменнику достатньоМінімальний проміжок часу dt, протягом якого ця зміна координати відбулася.

Таке не суворе розуміння похідної притаманно міркувань у фізиці. Далі ми дотримуватимемося саме цього фізичного рівня суворості.

Похідна x(t) фізичної величини x(t) знову є функцією часу і цю функцію знову можна продиференціювати знайти похідну похідної, або другу похідну функції x(t). Ось одне позначення другої похідної:

друга похідна функції x(t) позначається x•(t)

(читається ?ікс із двома точками¿), а ось інше:

друга похідна функції x(t) позначається dt 2

(читається ¾де два ікс по де те квадраті або ¾де два ікс по де те двічі).

Повернімося до вихідного прикладу ( 1.13 ) і порахуємо похідну координати, а заразом подивимося на спільне використання позначень ( 1.15 ) і ( 1.16 ):

x(t) = 1 + 12t 3t 2 )

x(t) = dt d (1 + 12t 3t 2 ) = 12 6t:

(Символ диференціювання dt d перед дужкою це все одно, що штрих зверху за дужкою в колишніх позначеннях.)

Зверніть увагу, що похідна координати дорівнювала швидкості ( 1.14 ). Це не випадковий збіг. Зв'язок похідної координати зі швидкістю тіла буде з'ясовано в наступному розділі «Механічне рух».

1.1.7 Межа векторної величини

Фізичні величини бувають як скалярними, а й векторними. Відповідно, часто нас цікавить швидкість зміни векторної величини, тобто похідна вектора. Однак, перш ніж говорити про похідну, потрібно розібратися з поняттям межі векторної величини.

Розглянемо послідовність векторів

u 3; : : : Зробивши, якщо необхідно, паралельне перенесення, зведемо їх початку в одну точку O(рис. 1.5):

---