Правило диференціювання складної функції

. Тепер. Тоді

Зазначимо, що ми тут брали «різні» композиції з тих самих функцій, і результат диференціювання природно виявився залежним від порядку «змішування».

Ланцюгове правило природним чином поширюється і композицію з трьох і більше функцій. При цьому «ланок» у «ланцюжку», що становить похідну, буде відповідно три або більше. Тут і аналогія з множенням: "у нас" - таблиця похідних; "там" - таблиця множення; "у нас" - ланцюгове правило а "там" - правило множення "стовпчиком". При обчисленні таких «складних» похідних жодних допоміжних аргументів (u?v та ін.), звичайно ж, не вводиться, а, зазначивши для себе число і послідовність функцій, що беруть участь у композиції, «нанизують» у зазначеному порядку відповідні ланки.

. Тут з «іксом» для отримання значення «гравця» роблять п'ять операцій, тобто, має місце композиція з п'яти функцій: «зовнішня» (остання з них) – показова – е ; далі у зворотному порядку статечна. (♦) 2 ; тригонометрична sin (); статечна. () 3 і, нарешті, логарифмічна ln.(). Тому

Наступними прикладами «вбиватимемо пари зайців»: потренуємося в диференціювання складних функцій і доповнимо таблицю похідних елементарних функцій. Отже:

4. Для статечної функції - у = х α - переписав її за допомогою відомого «основного логарифмічного тотожності» - b = e ln b - у вигляді х α = х α ln x отримуємо

5. Для довільної показової функції застосовуючи той самий прийом будемо мати

6. Для довільної логарифмічної функції використовуючи відому формулу переходу до нової основи послідовно отримуємо

7. Щоб продиференціювати тангенс (котангенс), скористаємосяправилом диференціювання приватного:

Для отримання похідних зворотних тригонометричних функцій скористаємося співвідношенням якому задовольняють похідні двох взаємозворотних функцій, тобто φ (х) і f (х) пов'язаних співвідношеннями:

Ось це співвідношення

Саме з цієї формули для взаємно зворотних функцій

, отримуємо

Під кінець зведемо ці та деякі інші, так само легко одержувані похідні, наступну таблицю.