При різних визначальних рівняннях
Можлива зміна визначального рівняння, у якому коефіцієнт пропорційності стане розмірним, тобто. залежить від розмірності основних величин. Найбільш наочно це можна показати для одиниці виміру сили як похідної величини в системах на основі величинLMT. З другого закону Ньютона (визначальне рівнянняF = kma, деk– інерційна постійна, рівна одиниці у всіх застосовуваних системах одиниць виміру) випливає, що розмірність сили дорівнює dimF = LMT -2 . При підстановці даної розмірності у вираз для закону всесвітнього тяжіння (F = G) гравітаційна постійна набуває розмірності
Звідси випливає, що числове значення постійної гравітаційної залежить від вибору основних величин. Тому, представивши її як похідну величину на підставі виразу (1.16), можна сказати, щоGзмінюється пропорційно кубу довжини, обернено пропорційно обраній одиниці маси і квадрату одиниці часу. Якщо в системіLMT(метр, кілограм, секунда) гравітаційна постійнаGдорівнює 6,672 · 10 -11 , то при переході до системиLMT(сантиметр, грам, секунда) її величина набуває значення 6,672 · 10 -8.
Якщо визначення одиниці сили використовувати закон всесвітнього тяжіння, а гравітаційну постійну прийняти рівної одиниці чи якомусь іншому постійному числу, то розмірність сили стане рівною
Інерційна постійнаkв рівнянні для другого закону Ньютона, яка приймалася рівною одиниці у всіх системах фізичних величин і була безрозмірною, набуває розмірності
Слід мати на увазі, що зміна розмірності сили та поява розмірної постійної інерційної зі зникненням гравітаційної постійної разом приведуть до іншогоматематичному вираженню законів та визначень у галузі механіки та до зміни розмірності.
Розмірність роботи, яка визначається як добуток сили на шлях і на косинус кута між їхніми напрямками, вже не буде рівним.
dimA= dimF dimL = L-2M2L = L -1M2 .
Цю ж розмірність роботи можна отримати, прирівнявши її різниці енергій на підставі формули
A=k. (1.18)
При підстановці в цей вираз (1.18) розмірності маси, швидкості та інерційної постійної (1.17) виходить розмірність роботи:
Звідси випливає, що при використанні для різних систем різних визначальних рівнянь слід брати до уваги можливість прирівнювання коефіцієнта пропорційності до одиниці (так буває найчастіше) або набуття ним розмірності.
З наведеного матеріалу видно, що для побудови системи фізичних величин (одиниць виміру) в механіці достатньо трьох основних одиниць виміру. У разі побудови похідних величин для областей молекулярної фізики, електромагнетизму та оптики слід додати ще по одній основній одиниці (температурний градус, ампер, кандела відповідно).
Систему одиниць фізичних величин можна побудувати з урахуванням двох основних величин, т. е. скорочуючи у системі основних фізичних величин їх число. У цьому випадку різні за своєю суттю похідні величини можуть набувати однакової розмірності. Наприклад, це можна зробити для системи механічних одиниць виміру, поєднуючи другий закон Ньютона та закон всесвітнього тяжіння у загальний закон. У ньому гравітаційна та інерційна постійні стають рівними одиниці, тобто безрозмірними, а у формулах зберігаються лише розмірності довжини та часу.
Другий закон Ньютонавиражається формулоюF=kma, а рівняння для закону всесвітнього тяжіння має виглядF=G, звідки
kma = Gта .
В узагальненому вигляді
M= .
Розмірність прискорення dima= .
Прирівнюючи коефіцієнт пропорційності до одиниці, знаходимо розмірність для одиниці маси як похідну величину:
Якщо цей вислів підставити у формулу розмірності сили, виведеної як із другого закону Ньютона, і із закону всесвітнього тяжіння, то вийде однакова розмірність:
Можна показати можливість збільшення числа основних одиниць виміру. У цьому випадку збільшується кількість розмірних коефіцієнтів пропорційності подібно до того, як зменшення числа основних одиниць веде до зменшення розмірних коефіцієнтів пропорційності. На практиці для сучасного стану науки і техніки найзручнішою виявилася Міжнародна система одиниць фізичних величин (Système International d'Unités). Тут кожна із семи основних одиниць виміру є мірою, за допомогою якої вимірюється та чи інша фізична величина. У зв'язку з існуванням різних систем основних одиниць, можна говорити про сукупність одиниць виміру, що мають ту саму розмірність. Сукупність груп одиниць виміру, які різняться між собою лише величиною, але з фізичної природою, називається класом систем основних одиниць виміру.
З викладеного видно, що одиниці виміру є застиглою системою – всякий новий успіх у розвитку техніки вимірів, як і відкриття нових явищ, може призвести до перегляду основних одиниць виміру. Неодноразово пропонувалися інші системи, використання яких було зручним для певного кола завдань. Так, в астрономії зручно вводити одиницю довжини,звану астрономічною одиницею (а. е.), яка є позасистемною одиницею довжини і дорівнює середній відстані від Землі до Сонця:
1 а. = 1,49597870 · 108 км (± 2 км).
У наведених нижче прикладах дається визначення розмірності фізичних величин і комплексів величин.
Приклад1.5. Визначити розмірність моменту інерції у системіLMT(СІ).
Рівняння для моменту інерції має вигляд
деJ- момент інерції;k- коефіцієнт пропорційності,
m- маса матеріальної точки;r– відстань точки від осі обертання (радіус).
Визначаємо розмірність у системіLMT(СІ):
Приклад1.6.Визначити розмірність у системіLMT(СІ) кінетичної енергії поступального руху.
Рівняння для кінетичної енергії має вигляд
E = k,
деk- коефіцієнт пропорційності;m- маса тіла;v– швидкість.
Визначаємо розмірність у системіLMT(СІ):
dimE= dim = dimm· dimv2 =M·L2T-2.
Приклад1.7.Визначити в системіLMTθ(СІ) розмірність газової постійноїR.
З формули Менделєєва-Клапейрона визначаємо постійну газову:
R= ,
деR- Постійна газова;p– тиск газів;V- обсяг газу;M- маса газу;T- абсолютна температура.
Визначаємо розмірністьRу системіLMTΘ (СІ):
dimR=dim = = = = .
Приклад1.8.Визначити розмірність у системіLMT(СІ) величини з рівняння
X= ,
деV- швидкість;g- прискорення вільного падіння.
Визначаємо розмірністьXсистеміLMT(СІ):
dimX= = =L.
У цьому прикладі величинаХмає розмірність довжини в системіLMT(СІ).
Приклад1.9.Визначити розмірність величиниСу системіLMT(СІ) з рівності
С= ,
деp- тиск; ρ – густина.
Розмір тиску визначається з формули
p=k,
деk= 1 - коефіцієнт пропорційності;F- сила (dimF=LMT -2);S- площа (dimL2).
Розмірність густини визначається з формули
=k(dim ρ= L -3M).
Розмірність величиниСвиразиться так:
dimC= dim = = = =LT –1.
РозмірністьСє розмірність швидкості в системіLMT(СІ).
Приклад1.10.Визначити розмірність виразу
,
деm- маса;s- площа; ρ- щільність;g- прискорення вільного падіння.
Послідовність визначення розмірності представленого виразу виглядає так:
dim = = = =T.
РозмірністьTозначає, що цей вираз за своєю природою є часом у якомусь технологічному процесі.
Основи аналізу розмірностей
Розмірності використовуються не тільки для переведення одиниць виміру з однієї системи в іншу. Їх застосовують для перевірки правильності фізичних рівнянь, встановлення характеру залежностей між фізичними величинами, участь яких у досліджуваному процесі попередньо встановлюють.