ПРИМІТНА ЦІЛА ЧАСТИНА (СПОСІБ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ З ЦІЛОЮ ЧАСТИНОЮ ЧИСЛА)

ПРИМІТНА ЦІЛА ЧАСТИНА(СПОСІБ РІШЕННЯ РІВНЯНЬ З ЦІЛОЮ ЧАСТИНОЮ ЧИСЛА)

клас 10 ф/м, ДБОУ ВО «Губернський ліцей-інтернат для обдарованих дітей», м. Пенза

Цепкова Наталія Михайлівна

150% "> Останнім часом все частіше на олімпіадах, математичних конкурсах, а також у багатьох варіантах ЄДІ з математики (С6) зустрічаються завдання, що містять цілу частину числа x.

150%"> У різних питаннях теорії чисел, математичного аналізу, теорії рекурсивних функцій та в інших галузях математики використовуються поняття цілої та дробової частин дійсного числа. У програму шкіл і класів з поглибленим вивченням математики включені окремі питання, пов'язані з цими поняттями, але їх виклад у підручнику алгебри для 9-го класу відведено всього 34 рядки [1].

150%"> Введемо поняття цілої частини дійсного числа і розглянемо деякі її властивості.

150%"Визначення.Цілою частиною дійсного числа x називається найбільше ціле число, що не перевищує x.

150%"Властивості цілої частини:

line-height:150%" 1. [x]=x, якщо x€Z.

line-height:150%" 2. [x]≤x 3. [x+m]=[x]+m, якщо m€Z.

150%"> Переглядаючи і аналізуючи зустрічаються завдання, що містять цілу частину числа, ми помітили їх одноманітність, що призводить до стандартного способу рішення - заміні будь-якого вираження змінної.

150%"> Замінимо x+2,6 = y, тоді

150%" Повернення до заміни: y= x+2,6, тоді

line-height:150%" 1x+2,6 -1,6x Відповідь: [-1,6; -0,6).

150%"> Розглянемо інше рівняння, взяте з Міжрегіональної олімпіади школярів з математики на базі відомчих освітніх установ 2011—2012року [3], яке теж вирішується за допомогою заміни:

line-height:150%" = .

150% " Замінимо =k.

line-height:150%" x=, (1)

line-height:150%"> =k,

line-height:150%" . (2)

150%"> Підставимо замість х у виразі (2) вираз (1), тоді

line-height:150%" k 40k-3910k 1) 40k-3910k, 2) 10k k1,3, k>.

150%" З 1) і 2) = k=0; k=1.

150%" При k=0 x=;

150%" Відповідь: ; 0,8.

150%"> Виникає питання: а чи можливо зустріти рівняння, в якому метод зазначених замін не призводить до знаходження результату, і як його вирішити?

150% "Розглянемо рівняння: [x +4,3] + [x-2,3] - [x +3,3] = 5."

150%" Складність даного рівняння полягає в неоднозначності числа x.

150%" Нехай x=0,4, тоді [x+0,8]=1; [x+1,2]=1; [x+4,5]=4, а при x= 0,8 [x + 0,8] = 1; [x + 1,2] = 2;

150%"> Щоб врахувати неоднозначність невідомого в рівнянні з цілими частинами, нам треба знайти точки, при яких кожне доданок змінює значення цілої частини на 1. Назвемо їхкритичними точкамиі розглянемо конкретний приклад.

150% "x=t+a, t - ціла частина числа, a - дробова частина числа.

150% " а=0,7; а=0,4; а=0,5 - критичні точки.

---