Проектна геометрія

Проективна геометрія— розділ геометрії, що вивчає проектні площини та простори. Головна особливість проективної геометрії полягає в принципі подвійності, який додає витончену симетрію у багато конструкцій.

Проективна геометрія може вивчатися як з чисто геометричної точки зору, так з аналітичної (за допомогою однорідних координат) та з алгебраїчної, розглядаючи проектну площину як структуру над полем. Часто, і історично, речова проектна площина сприймається як Евклідова площину з додаванням «прямий у нескінченності».

Тоді як властивості постатей, з якими має справу Евклідова геометрія, єметричними(конкретні величини кутів, відрізків, площ), а еквівалентність фігур рівнозначна їхнійконгруентності(тобто коли фігури можуть бути переведені одна в іншу за допомогою руху зі збереженням метричних властивостей), існують більш «глибоко лежачі» властивості геометричних фігур, які зберігаються перетворення більш загального типу, ніж рух. Проективна геометрія займається вивченням властивостей фігур, інваріатних при класі проективних перетворень, а також самих цих перетворень.

Проективна геометрія доповнює Евклідову, надаючи гарні та прості рішення для багатьох завдань, ускладнених присутністю паралельних прямих. Особливо проста і витончена проектна теорія конічних перерізів.

Зміст

Хоча деякі результати, які тепер зараховані до проективної геометрії, сягають роботи таких давньогрецьких геометрів, як Папп Олександрійський, проективна геометрія як така народилася в XVII столітті з прямої перспективи в живописі та архітектурному кресленні. Ідея нескінченно далеких точок, у яких перетинаються паралельні прямі,з'явилася незалежно у французького архітектора Жерара Дезарга та у німецького астронома Йоганна Кеплера. Дезарг навіть запропонував, що може бути пряма, що складається виключно з нескінченно віддалених точок.

У XIX столітті інтерес до цієї галузі відродився завдяки працям Жана-Віктора Понселе та Мішеля Шаля. Понселе вивів проективний простір з Евклідова, додавши пряму в нескінченності, де перетинаються всі площини, паралельні даної, і довів принцип дуальності. Шаль продовжив і значно поглибив працю Понселе. Пізніше фон Штаудт створив суто синтетичну аксіоматизацію, що поєднує ці прямі з іншими.

Наприкінці XIX століття Фелікс Клейн запропонував використовувати для проективної геометрії однорідні координати, які раніше запровадили Мебіус, Плюккер та Фейєрбах.

Основні, залишені без визначення стандартної аксіоматизації, поняття проективної геометрії — це точка і пряма. Сукупність точок на прямій називаєтьсярядом, а сукупність прямих, що проходять через точку -пучком. Сукупність точок на прямих у пучкуA, що перетинаються з прямоюBC, визначаєплощинуABC.Принцип двоїстостісвідчить, що будь-яка конструкція проективної геометрії вn-мірному просторі залишається вірною, якщо у всіх випадках замінити (k)-мірні конструкції на (>n-k-1)-мірні. Так, будь-яка конструкція в проектній площині залишається правильною, якщо замінити точки на прямі та прямі на точки.

Перетворення ряду прямоїXв пучок точкиx, що не знаходиться в цьому ряду, або назад, ідентифікує кожну точку в ряду з перетинає її прямою з пучка і пишетьсяX⌅x. Послідовність з кількох таких перетворень (з ряду в пучок, потім назад у ряд, і такдалі) називаєтьсяпроективністю.Перспективність— це послідовність із двох проективностей (пишаєтьсяX⌆X′). Перспективність двох прямих проходить крізьцентрO, а перспективність двох точок - крізьвісьo. Точкаінваріантнапо відношенню до проективності, якщо проективність перетворює її на ту ж точку.

Трикутник- це три точки, з'єднані попарно прямими.Повний чотирикутник- це чотири точки (вершини) в одній площині, з яких ніякі три не колінеарні, з'єднані попарно прямими. Перетин двох із цих прямих, що не є вершиною, називаєтьсядіагональною точкою.Повний чотиригранниквизначається аналогічно, але з точками замість прямих і прямими замість точок. Аналогічно можна визначитиповнийn-кутникіповнийn-гранник.

Два трикутникиперспективніякщо вони можуть бути з'єднані за допомогою перспективності, тобто їх межі перетинаються на колінеарних точках (перспективність крізь пряму) або їх вершини з'єднані конкурентними прямими (перспективність крізь точку).

Є три головні підходи до проективної геометрії: незалежна аксіоматизація, доповнення Евклідової геометрії та структура над полем.

Аксіоматизація

Проективний простір можна визначити за допомогою різного набору аксіом. Коксетер надає такі:

  1. Існує пряма і точка не на ній.
  2. На кожній прямій є принаймні три точки.
  3. Через дві точки можна провести одну пряму.
  4. ЯкщоA,B,CіD— різні точки іABіCDперетинаються, тоACіBDперетинаються.
  5. ЯкщоABC— площина, існує по крайньоїпринаймні одна точка над площиніABC.
  6. Дві різні площини перетинаються принаймні у двох точках.
  7. Три діагональні точки повного чотирикутника не колінеарні.
  8. Якщо три точки на прямійXінваріантні стосовно проективності φ, то всі точки наXінваріантні стосовно φ.

Проективна площина (без третього виміру) визначається дещо іншими аксіомами:

  1. Через дві точки можна провести одну пряму.
  2. Будь-які дві прямі перетинаються.
  3. Існує чотири точки, з яких немає трьох колінеарних.
  4. Три діагональні точки повних чотирикутників не колінеарні.
  5. Якщо три точки на прямійXінваріантні стосовно проективності φ, то всі точки наXінваріантні стосовно φ.
  6. Теорема Дезарга: Якщо два трикутники перспективні крізь точку, вони перспективні крізь пряму.

За наявності третього виміру теорема Дезарга може бути доведена без введення ідеальних точки і прямої.

Доповнення Евклідової геометрії

Історично, проективний простір було вперше визначено, як доповнення евклідового простору ідеальним елементом — нескінченно віддаленою площиною. Кожна точка на цій площині відповідає напрямку простору і є місцем перетину всіх прямих цього напрямку.

Структура над полем

n-вимірний проектний простір над полемFвизначається за допомогою системи однорідних координат надF, тобто множини ненульових (n+1) -векторів із елементівF. Точка та пряма визначаються як безліч векторів, що відрізняються множенням на константу. Крапкаxзнаходиться на прямійXякщо скалярний твірX⋅x= 0. Таким чином, маючи прямуX, ми можемо визначити лінійне рівнянняX⋅x= 0, що визначає ряд точок наX. З цього випливає, що точкиx,yіzколінеарні, якщоX⋅x=X⋅y=X⋅z= 0 для будь-якої прямоїX.