Програмування системи рівнянь
1 Постановка задачі
2 Рішення системи рівняння методом Гауса
3 Рішення рівняння методами Ньютона, Хорд
4 Розробка блок схеми розв'язання системи рівняння методом Гаусса
5 Розробка блок схеми розв'язання рівняння методом Ньютона
6 Розробка блок схеми розв'язання рівняння методом Хорд
7 Мова програмування Turbo Pascal
8 Розробка програми розв'язання системи рівняння методом Гауса за допомогою Turbo Pascal
9 Розробка програми розв'язання рівняння методом Ньютона за допомогою Turbo Pascal
10 Розробка програми розв'язання рівняння методом Хорд за допомогою Turbo Pascal
Список використаних джерел
В основі тієї чи іншої мови програмування лежить деяка керівна ідея, що істотно впливає на стиль відповідних програм.
Історично першою була ідея структурування програм, відповідно до якої програміст мав вирішити, які саме процедури він використовуватиме у своїй програмі, а потім вибрати найкращі алгоритми для реалізації цих процедур. Поява цієї ідеї була наслідком недостатньої вивченості алгоритмічної сторони обчислювальних процесів, настільки характерною для ранніх програмних розробок (сорокові - п'ятдесяті роки). Типовим прикладом процедурно-орієнтованої мови є Фортран – перша і все ще одна з найбільш популярних мов програмування. Послідовне використання ідеї процедурного структурування програм призвело до створення великих бібліотек програмування, що містять безліч порівняно невеликих процедур, з яких, як цегли, можна будувати «будівлю» програми.
У міру прогресу в галузі обчислювальної математикиакцент у програмуванні став зміщуватися з процедур у бік організації даних. Виявилося, що ефективна розробка складних програм потребує дієвих способів контролю правильності використання даних. Контроль має здійснюватися як у стадії компіляції, і при прогоні програм, інакше, як показала практика, різко зростають труднощі створення великих програмних проектів. Виразне усвідомлення цієї проблеми призвело до створення Ангола-60, а пізніше Паскаля, Модули-2, Сі та безлічі інших мов програмування, що мають більш менш розвинені структури типів даних. Логічним наслідком розвитку цього напряму став модульний підхід до розробки програм, що характеризується прагненням «заховати» дані та процедури всередині модуля.
Починаючи з мови Сімула-67, у програмуванні намітився новий підхід, який отримав назву об'єктно-орієнтованого програмування (надалі ООП). Його керівна ідея полягає в прагненні пов'язати дані з процедурами, що обробляють ці дані, в єдине ціле - об'єкт. Характерною рисою об'єктів є інкапсуляція (об'єднання) даних та алгоритмів їх обробки, внаслідок чого і дані, і процедури багато в чому втрачають самостійне значення.
1 Постановка задачі
Мета розв'язання задачікурсової роботи - автоматизація рішення системи рівняння методом Гаусса, а також рішення рівняння методами Хорд і Ньютона.
Вихідна інформація задачівиводиться на екран монітора.
Вхідна інформація задачінадходить шляхом введення користувачем даних для вирішення поставленого завдання
Припинення розв'язання задачівиконується при виході нового програмного забезпечення, пов'язаного з вирішенням даного завдання або поява нової версії даногопродукту.
2 Розв'язання системи рівняння методом Гауса
Метод Гаусса - класичний метод вирішення системи лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Перебуває у поступовому зниженні порядку системи та виключенні невідомих.
Хоча в даний час цей метод повсюдно називається методом Гаусса, він був відомий і до Гаусса. Перший відомий опис даного методу - в китайському трактаті "Математика в дев'яти книгах", складеному між І ст. до н.е. та ІІ ст. н. е.
Опис методу
Нехай вихідна система виглядає так
Тоді згідно з властивістю елементарних перетворень над рядками цю систему можна привести до ступінчастого вигляду:
Перенесемо вільні змінні за знаки рівностей і поділимо кожне з рівнянь системи на свій коефіцієнт за лівого
Якщо вільним змінним системи (2) надавати всі можливі значення і обчислити них головні змінні, ми отримаємо всі рішення. Так як ця система отримана шляхом елементарних перетворень над вихідною системою (1), то теорема про еквівалентність при елементарних перетвореннях отримане нами рішення є рішенням системи (1).
1: Якщо у спільній системі всі змінні головні, то така система є певною.
2: Якщо кількість змінних у системі перевищує число рівнянь, така система є або невизначеною, або несумісною.
Умова спільності.
Згадана вище умова
Нагадаємо, що рангом спільної системи називається ранг її основний матриці (чи розширеної, оскільки вони рівні).
Алгоритм рішення СЛАУ методом Гауса поділяється на два етапи.
1) На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхомелементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої чи трикутної формі, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що виходив після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляя цим стовпець під ним. Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.
2) На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь. Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (а вона там лише одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору. Кожному рядку відповідає рівно одна базова змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.
У найпростішому випадку алгоритм має такий вигляд:
3) Зворотний перебіг. З останнього ненульового рівняння виражаємо базисну змінну через небазисні та підставляємо у попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базиснихзмінних, одержуємо фундаментальне рішення.
Крім аналітичного рішення СЛАУ, метод Гауса також застосовується для:
1) знаходження матриці, зворотної до даної (до матриці праворуч приписується одинична такого ж розміру, що й вихідна:
2) визначення рангу матриці (відповідно до слідства з теореми Кронекера-Капеллі ранг матриці дорівнює числу її основних змінних);
3) чисельного рішення СЛАУ в обчислювальній техніці (через похибку обчислень використовується Метод Гауса з виділенням головного елемента, суть якого полягає в тому, щоб на кожному кроці як головну змінну вибирати ту, при якій серед чергових рядків і стовпців, що залишилися після викреслення, стоїть максимальний по модулю коефіцієнт).
На відміну від матричного методу та методу Крамера, метод Гауса може бути застосований до систем лінійних рівнянь із довільним числом рівнянь та невідомих. Суть методу полягає у послідовному виключенні невідомих.