Реферат Метричне простір

Метричним просторомназивається безліч, в якій визначено відстань між будь-якою парою елементів.

1. Формальне визначення

Метричне простірMє безліч точок з фіксованою функцією відстані (також називаєтьсяметрикою) , де позначає безліч дійсних чисел. Для будь-яких точок зMця функція повинна відповідати таким умовам:

  1. (аксіома тотожності).
  2. (аксіома симетрії).
  3. (аксіома трикутникаабо нерівність трикутника).

Ці аксіоми відбивають інтуїтивне поняття відстані. Наприклад, відстань має бути невід'ємною, тобто (це випливає з аксіоми трикутника приz=x) і відстань відxдоyтаке ж, як і відyдоx.

Нерівність трикутника означає, що пройти відxдоzможна коротше, або хоча б не довше, ніж спочатку пройти відxдоyа потім відyдоz.

2. Позначення

Зазвичай відстань між точкамиxіyу метричному просторіMпозначається або .

  • У метричній геометрії прийнято позначенняxyабоxyM, якщо необхідно підкреслити, що йдеться проM. Рідше вживаються позначенняx−yтаx−yM.
  • У класичній геометрії прийнято позначенняXYабоXY(точки зазвичай позначають великими латинськими літерами).

  • Дискретна метрика: , якщоx=y, і в інших випадках.
  • Речові числа з функцією відстані та евклідовий простір є повними метричними просторами.
  • Декартове твір метричних просторів може бути наділено структурою метричного простору багатьма способами, наприклад:
Ці метрики еквівалентні одна одній.
  • Нехай - простір безперервних і обмежених відображень з топологічного просторуXу метричний простірY. Відстань між двома відображеннямиf1 іf2 з цього простору визначається як
Східність відображень по цій метриці рівнозначна їх рівномірній збіжності на всьому просторіX. В окремому випадку, колиX— компактний простір,Y— числова пряма, виходить простірC(X) всіх безперервних функцій на просторі X із метрикою рівномірної збіжності.
  • Нехай , , — простору функцій на відрізку , відповідно інтегрованих по Лебегу, інтегрованих Рімана, і безперервних. Вони відстань можна визначити по формуле:
Для того, щоб ця функція стала метрикою, у перших двох просторах необхідно ототожнити функції, що відрізняються на безлічі заходів 0. В іншому випадку ця функція буде лише півметрикою. (У просторі функцій, безперервних на відрізку, функції, що відрізняються на безлічі міри 0, і так збігаються.)
  • У просторі k разів безперервно диференційованих функцій метрика вводиться за такою формулою:
деd0 — метрика рівномірної збіжності (див. вище).
  • Будь-який нормований простір можна перетворити на метричний, визначивши функцію відстані .

  • Будь-яке зв'язне ріманове різноманіттяMможна перетворити на метричний простір, визначивши відстань як точну нижню грань довжин шляхів, що з'єднують пару точок.
  • Безліч вершин будь-якого зв'язкового графаGможна перетворити наметричний простір, визначивши відстань як мінімальне число ребер у дорозі, що з'єднує вершини. Більше загально: якщо кожному ребру графа приписати позитивне число (довжину ребра), відстань між вершинами можна визначити як мінімальну суму довжин ребер уздовж будь-яких шляхів з однієї вершини в іншу.
  • Приватним випадком попереднього прикладу є так звана Французька залізнична метрика - приклад, який нерідко наводять як приклад метрики, не породженою нормою.
  • Багато компактних підмножинK(M) будь-якого метричного просторуMможна перетворити на метричний простір, визначивши відстань за допомогою так званої метрики Хаусдорфа. У цій метриці два підмножини близькі один до одного, якщо для будь-якої точки однієї множини можна знайти близьку точку в іншому підмножині. Ось точне визначення:
  • Багато компактних метричних просторів (з точністю до ізометрії) можна перетворити на метричний простір, визначивши відстань за допомогою так званої метрики Громова — Хаусдорфа.

4. Пов'язані визначення

  • Метричне простір називаєтьсяповним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність у ньому сходить до деякого елементу цього простору.
  • МетрикаdнаMназиваєтьсявнутрішньою, якщо будь-які дві точкиxіyуMможна з'єднати кривою з довжиною, довільно близькою до .
  • Будь-який метричний простір має природну топологію, базою для якої служить безліч відкритих куль, тобто множин наступного типу:
деxє точкаMіr— позитивне речовинне число, зване радіусом кулі. Інакше кажучи, безлічOє відкритим, якщо для будь-якої точки знайдеться позитивне числоr, таке, що безліч точок на відстані меншеrвідxналежитьO.
  • Дві метрики, що визначають ту саму топологію, називаютьсяеквівалентними.
  • Топологічний простір, який може бути отриманий таким чином, називаєтьсяметризованим.
  • Відстань від точкиxдо підмножиниSдоMвизначається за формулою:
Тоді, тільки якщоxналежить замиканнюS.

5. Властивості

  • Метричне простіркомпактнотоді і тільки тоді, коли з будь-якої послідовності точок можна вибрати підпослідовність (секвенційна компактність).
  • Метричне простір може мати лічильної бази, але завжди задовольняє першої аксіомі лічильності — має лічильну базу у кожному точці.
  • Більше того, кожен компакт у метричному просторі має лічильну базу околиць.
  • Понад те, у кожному метричному просторі існує така база, що кожна точка простору належить лише лічильній множині її елементів — точково-лічильна база (але це властивість слабкіша за метризування навіть у присутності паракомпактності і хаусдорфовості).

6. Варіації та узагальнення

  • Для даної множиниM, функція називаєтьсяпсевдометрикоюабопівметрикоюнаMякщо для будь-яких точок зMвона задовольняє наступним умовам:
  • (симетрія);
  • (Нерівність трикутника).
Тобто, на відміну від метрики, різні точкиMможуть перебувати на нульовій відстані. Псевдометрика природно визначає метрику на фактор просторі, де.
  • Метрика на просторі називаєтьсяультраметрикою, якщо вона задовольняєсильній нерівності трикутника: Для всіхx,yтаzвM.
  • Іноді зручно розглядати-метрики, тобто метрики зі значеннями . Для будь-якої метрики можна побудувати кінцеву метрику яка визначає ту ж топологію. Наприклад або
Також, для будь-якої точки такого простору, безліч точок, що знаходяться від неї на кінцевій відстані, утворює звичайний метричний простір. Зокрема будь-який простір з метрикою можна розглядати як набір звичайних метричних просторів і визначити відстань між будь-якою парою точок у різних просторах рівним.

Моріс Фреше вперше запровадив поняття метричного простору [1] у зв'язку з розглядом функціональних просторів.