Розмірність та базис лінійного простору
Визначення 2.2. Кількістьnназиваєтьсярозмірністю лінійного просторуV, якщо виконуються такі умови:
1) уVіснуєnлінійно незалежних векторів;
2) будь-яка системаn+ 1 векторів зVлінійно залежна.
Розмірність лінійного просторуVпозначають dimV=n, тоVназиваютьn-мірним лінійним пространством. Якщо простір складається з одного нульового елемента, його розмірність вважають рівної нулю. Отже, розмірність лінійного простору – це найбільша можлива кількість лінійно незалежних елементів у ньому.
Базисомn-мірного лінійного просторуVназивається будь-яка впорядкована системаnлінійно незалежних векторів цього простору.
Приклади базисів лінійних просторів:
1) базисом дійсного просторуR3 є будь-яка трійка некомпланарних векторів. Базис дійсного лінійного просторуR2 – будь-які два неколлінеарні вектори;
2) базисомn-мірного арифметичного просторуR nє, наприклад, система векторів
Питання для самоконтролю
1. Що називають лінійним простором та які його властивості?
2. Наведіть приклади лінійного простору.
3. Коли система векторів називатиметься лінійно незалежною (лінійно залежною)?
4. Що називають розмірністю лінійного простору?
5. Дайте визначення базису лінійного простору.
6. Наведіть приклади базисів лінійного простору.
Межа функції
Математичний аналіз - розділ математики, в якому вивчаються функції. Основу математичного аналізу становить диференціальне та інтегральнеобчислення, теорія рядів. Заслуга відкриття диференціального обчислення належить англійському математику та фізику Ісааку Ньютону (1643–1727) та Готфріду Вільгельму Лейбніцу (1646–1716), німецькому математику та філософу.
Поняття функції
Функція однієї змінної
Поняття функції – одне з основних понять сучасної математики.
Розглянемо множинуXелементівхі множинуYелементівy. Якщо кожному елементухÎΧпоставлений у відповідність єдиний елементуÎΥ, що позначаєтьсяу = f(x), то кажуть, щона множиніХзадана функціяу = f(x) зі значеннями у множиніY. ЕлементихÎΧназиваютьсязначеннями аргументу, а елементиуÎΥ–значеннями функції.
Використовуються такі позначення функції:у = f(x),y = F(x),y = Ф(х),у= φ(х) і т. п. Значення, яке функціяу = f(x) приймає прих = а, позначаєтьсяf(a).
До традиційних основних способів завдання функції належать: аналітичний, графічний та табличний.
Аналітичний спосіб завдання функції - це завдання функції за допомогою формул. Наприклад,у= 2х,у= lgx,у= .
Функція задана формулоюу = f(x), права частина якої не міститьу, називаєтьсяявною функцією.
Розглянемо рівнянняF(x; y) = 0. Припустимо, що існує непуста множинаХзначеньхтаких, що при кожномух0 ÎΧрівнянняF(x0;y) = 0 має дійсні рішення щодоу. Позначимо одне з них черезу0. Зіставляючи таким чином кожномух0Χелементу0, отримаємо функціюу = у(х) , визначену на множиніХі таку, щоF(x; y(x)) º 0 для всіххÎΧ. Функціяу = у(х), визначена таким чином, називаєтьсяфункцією, заданою неявно абонеявною функцією.
Наприклад, рівняння 3х+ 2у– 5 = 0 неявно задає функцію у = −х+ . Рівняннях2 +у2 =R2 задає неявно дві функціїу= іу= − .
Табличний спосіб завдання функції - це спосіб завдання функції за допомогою таблиці. Прикладами такого завдання функції є таблиці тригонометричних функцій, таблиці логарифмів тощо.
Графічний спосіб завдання функції - це спосіб завдання функції за допомогою графіка.Графіком функції у =f(x) називається безліч точок (x;f(x)) площиніхОу, дехналежить області визначення функції. Перевагою графічного методу завдання функції є його наочність.
Якщоу = f(u),u= φ(х) – функції своїх аргументів, причому область визначення функціїу = f(u) містить область значень функціїu= φ(х), то кожномухз області визначення функції φ відповідає такеу, щоу=f(u), деu= φ(х). Ця функція, яка визначається відповідністю
називаєтьсяскладною функцією абокомпозицією функції φ іf. Наприклад, якщоу = u2 ,u= sinx, тоу= sin 2x– складна функція.
Крім тригонометричних тазворотних тригонометричних функцій у середній школі вивчаються функції: статечнау = х а(а= const), показовау = а х(а= const), логарифмічнау= logax(a= const). Всі ці функції називаються основними елементарними функціями. Елементарними функціями називаються функції, які можна отримати з основних елементарних функцій за допомогою алгебраїчних дій та утворення складних функцій. Наприклад, функціїу= lg sinx,y=x2 + cosx,y= 3 lgcosx+ sinxє елементарними.