Розподіл відрізка в цьому відношенні
Якщо точка М(x; y) лежить на прямій, що проходить через дві дані точки (, ) і (, ), і дано відношення , в якому точка М ділить відрізок , то координати точки М визначаються за формулами
Якщо точка М є серединою відрізка, то її координати визначаються за формулами
Площа трикутника
Якими б не були три точки A(; ), B(; ), C(; ), площа S трикутника ABC дається формулою
Права частина цієї формули дорівнює +S у тому випадку, коли найкоротший поворот відрізка до відрізка позитивний, і -S у тому випадку, коли такий поворот від'ємний.
Перетворення координат
Перетворення декартових координат при паралельному зсуві осей визначається формулами
Тут x, y - координати довільної точки М площини щодо старих осей, x', y' - координати тієї ж точки щодо нових осей, a, b - координати нового початку O' щодо старих осей (кажуть також, що a - величина зсуву в напрямі осі абсцис, b - величина зсуву в напрямку осі (ординат).
Перетворення декартових прямокутних координат при повороті осей на кут (який треба розуміти, як у тригонометрії) визначається формулами
Тут x, y суть координати довільної точки М площини щодо старих осей, x', y' - координати тієї ж точки щодо нових осей.
визначають перетворення координат при паралельному зрушенні системи осей на величину а напрямку Ох, на величину b у напрямку Оу і подальшому повороті осей на кут . Усі зазначені формули відповідають перетворенню координат при постійному масштабі. Незмінність масштабу передбачається також у наведених нижче завданнях.
Функція двох змінних
Якщо вказано правило, згідно з яким із кожною точкою М площини (абоякийсь частини площини) зіставляється деяке число u, то кажуть, що на площині (або на частині площини) «задана функція точки»; Завдання функції символічно виражається рівністю виду u = f (M). Число u, що зіставляється з точкою М, називається значенням цієї функції в точці М. Наприклад, якщо А - фіксована точка площини, М - довільна точка, то відстань від А до М є функція точки М. У даному випадку f(m)=AM .
Нехай дана деяка функція u=f(M) і водночас запроваджено систему координат. Тоді довільна точка визначається координатами x, y. Відповідно до цього і значення цієї функції в точці М визначається координатами x, y, або, як ще кажуть, u=f(M) є функція двох змінних x і y. Функція двох змінних x та y позначається символом f(x; y): якщо f(M)=f(x;y), то формула u=f(x; y) називається виразом цієї функції у вибраній системі координат. Так, у попередньому прикладі f(M)=AM; якщо ввести декартову прямокутну систему координат з початком у точці А, то отримаємо вираз цієї функції:
Декартові прямокутні координати у просторі
Декартова прямокутна система координат у просторі визначається завданням лінійної одиниці для вимірювання довжин і трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, занумерованих в якому-небудь порядку.
Точка перетину осей називається початком координат, а самі осі – координатними осями. Перша координатна вісь називається віссю абсцис, друга - віссю ординат, третя - віссю аплікат.
Початок координат позначається буквою О, координатні осі відповідно символами Ox, Oy, Oz.
Нехай М – довільна точка простору, , , – її проекції на координатні осі (рис. 1).
Координатами точки М у заданій системі називаються числа , ,(рис.1), де величина відрізка осі абсцис, величина відрізка осі ординат, величина відрізка осі аплікат. Число х називається абсцисою, у – ординатою, z – аплікатою точки М. Символ M(x, y, z) позначає, що точка М має координати x, y, z.
Площина Oyz поділяє весь простір на два напівпростори; те з них, яке розташоване у позитивному напрямку осі Ох, називається ближнім, інше далеким. Площина Oxz також поділяє простір на два напівпростори; те їх, що у позитивному напрямі осі Оу, називається правим, інше - лівим. Зрештою, і площина Oxy поділяє простір на два напівпростори; те з них, яке розташоване у позитивному напрямку осі Oz, називається верхнім, інше – нижнім.
Три площини Oxy, Oxz, Oyz разом поділяють простір на вісім частин; їх називають координатними октантами та нумерують так, як показано на рис. 2.
Приклади з рішеннями
Приклад 1. Довести властивість координат колінеарних векторів
Довести властивість 3 координат вектора.
b1 b2 λR, т.ч.b1= λ∙b2.
Твердження доведено.
Приклад 2. Знайти вектор, виражений через заданий
Для цього вектораа знайти
векторb, такий щоа b,b =2∙a ;
векторз, такий щоас,з =a /4;
векторd, такий щоad,d =3∙a ;
векторe, такий щоae,e =1.
Рішення:
b =2∙a ;c =a ; векторd неоднозначно:d1 a =>d1 =3∙a,d2a =>d2 =-3∙a ;e =a.
Комплексні числа
Комплексні числа —розширення поля дійсних чисел зазвичай позначається. Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і речові числа, уявна одиниця.
Комплексні числа утворюють замкнене алгебраїчне поле — це означає, що багаточлен ступеня з комплексними коефіцієнтами має рівно комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел у математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно та компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці та в природничих науках — електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантовій механіці, теорії коливань та багатьох інших.
Визначення
Поле комплексних чисел можна як розширення поля речових чисел, у якому многочлен має корінь. Наступні дві елементарні моделі показують, що несуперечлива побудова такої системи чисел можлива. Обидва наведені визначення призводять до ізоморфних розширень поля дійсних чисел, як і будь-які інші конструкції поля розкладання многочлена.
Стандартна модель
Комплексне число можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел. Введемо операції складання та множення таких пар наступним чином:
Речові числа є в цій моделі підмножиною безлічі комплексних чисел і представлені парами виду, причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою одиниця - а уявна одиниця - На безлічі комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на безлічі речових, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює , тобто
Нескладно показати, щопевні вище операції мають самі властивості, як і аналогічні операції з речовими числами. Винятком є лише властивості, пов'язані з ставленням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа так, щоб операції, як і раніше, були узгоджені з порядком, неможливо.
Матрична модель
Комплексні числа можна також визначити як сімейство речових матриць виду
із звичайним матричним додаванням та множенням. Дійсна одиниця відповідатиме уявній одиниці —
Зауваження
Помилково визначення числа як однини, що задовольняє рівняння , так як число також задовольняє цього рівняння.
Слід також зауважити, що вираз, що раніше часто використовувався замість, не цілком коректний, оскільки алгебраїчний корінь визначається над безліччю невід'ємних чисел. Аж до кінця XIX століття запис начебто вважався допустимим, але в даний час, щоб уникнути помилок, прийнято записувати цей вираз як . Приклад можливої помилки при необережному використанні застарілого запису:
у той час як правильний запис призводить до іншої відповіді: