Розрізання та складання • Хайдар Нурлігарєєв • Науково-популярні завдання на «Елементах» • Математика
а) Розріжте довільний трикутник на кілька шматочків так, щоб їх можна було скласти прямокутник. б) Розріжте довільний прямокутник на кілька шматочків так, щоб їх можна було скласти квадрат. в) Розріжте два довільні квадрати на кілька шматочків так, щоб з них можна було скласти один великий квадрат.
Підказка 1
б) Спочатку складіть із довільного прямокутника такий прямокутник, відношення більшої сторони якого до меншої не перевищує чотирьох.
в) Використовуйте теорему Піфагора.
Підказка 2
а) Проведіть висоту чи середню лінію.
б) Накладіть прямокутник на квадрат, який має вийти, та проведіть «діагональ».
в) Додайте квадрати один до одного, на стороні більшого квадрата відміряйте відрізок, що дорівнює довжині меншого квадрата, після чого з'єднайте її з «протилежними» вершинами кожного з квадратів (див. рис. 1).
а) Нехай дано довільний трикутникABC. Проведемо середню лініюMNпаралельно стороніAB, а отриманому трикутникуCMNопустимо висотуCD. Крім того, опустимо на прямуMNперпендикуляриAKтаBL. Тоді легко бачити, що ∆AKM= ∆CDMі ∆BLN= ∆CDNяк прямокутні трикутники, у яких рівні відповідні пари сторін та пара кутів.
Звідси випливає спосіб розрізання цього трикутника і подальшого перекладання шматочків. Саме проведемо розрізи по відрізкахMNіCD. Після цього перекладемо трикутникиCDMіCDNна місце трикутниківAKMіBLNвідповідно, як показано на рис. 2. Ми отримали прямокутникAKLB, як і вимагалося завдання.
Зазначимо, що цей метод неспрацює, якщо один із кутівCABабоCBA— тупий. Так відбувається через те, що в цьому випадку висотаCDне лежить усередині трикутникаCMN. Але це не надто страшно: якщо проводити середню лінію паралельно найдовшій стороні вихідного трикутника, то у відсіченому трикутнику ми опускатимемо висоту з тупого кута, а вона обов'язково лежатиме всередині трикутника.
б) Нехай дано прямокутникABCD, сторони якогоADіABрівніaіbвідповідно, причомуa>b. Тоді площа того квадрата, який ми хочемо отримати в результаті, має бути рівноюab. Отже, довжина сторони квадрата становитьab, що менше, ніжAD, але більше, ніжAB.
Побудуємо квадратAPQR, рівний шуканому, таким чином, щоб точкаBлежала на відрізкуAP, а точкаR- на відрізку>AD. НехайPDперетинає відрізкиBCіQRу точкахMтаNвідповідно. Тоді легко бачити, що трикутникиPBM,PADіNRDподібні, а крім того,BP= (√ab-b) таRD= (a- √ab). Значить,
Отже, ∆PBM= ∆NRDпо обидва боки і кут між ними. Також звідси нескладно вивести рівностіPQ=MCіNQ=CD, а значить, ∆PQN= ∆MCDтеж з обох боків і кутку між ними.
З усіх наведених міркувань випливає спосіб розрізання. Саме спочатку ми відкладаємо на сторонахADіBCвідрізкиARіCM, довжини яких рівні √ab(про те, як будувати відрізки виду √ab, див. задачу «Правильні багатокутники» — врізання у розділі «Рішення»). Далі відновлюємо перпендикуляр до відрізкаADу точціR.Тепер залишилося тільки відрізати трикутникиMCDтаNRDі перекласти їх так, як показано на рис. 3.
Зазначимо, що для того, щоб цим методом можна було скористатися, потрібно, щоб точкаMбула всередині відрізкаBK(інакше не весь трикутникNRDміститься всередині прямокутникаABCD). Тобто необхідно, щоб
Якщо ця умова не виконується, спочатку потрібно зробити даний прямокутник ширшим і менш довгим. Для цього достатньо розрізати навпіл і перекласти шматочки так, як показано на рис. 4. Зрозуміло, що після проведення такої операції ставлення більшої сторони до меншої зменшиться вчетверо. Отже, проробляючи її досить багато разів, зрештою ми отримаємо прямокутник, якого застосовується розрізання з рис. 3.
в) Розглянемо два дані квадратаABCDіDPQR, приклавши їх один до одного так, щоб вони перетиналися по стороніCDменшого квадрата і мали загальну вершинуD. Будемо вважати, щоPD=aіAB=b, причому, як ми вже зазначали,a>b. Тоді на стороніDRбільшого квадрата можна розглянути таку точкуM, щоMR=AB. По теоремі Піфагора.
Нехай прямі, що проходять через точкиBіQпаралельно прямимMQіBMвідповідно, перетинаються в точціN. Тоді чотирикутникBMQNє паралелограмом, бо у нього всі сторони рівні, це ромб. Але ∆BAM= ∆MRQпо трьох сторонах, звідки слід (з огляду на те, що кутиBAMіMRQпрямі), що . Таким чином,BMQN- Квадрат. Оскільки його площа дорівнює (a2 +b2 ), це саме той квадрат, який треба отримати.
Для того, щоб перейти дорозрізанню, залишилося помітити, що ∆BAM= ∆MRQ= ∆BCN= ∆NPQ. Після цього те, що потрібно зробити стає очевидним: необхідно відрізати трикутникиBAMіMRQі перекласти їх так, як зображено на рис. 5.
Післямова
Вирішивши запропоновані завдання, читач цілком можливо задумається над таким питанням: а коли взагалі можна один даний багатокутник розрізати прямими лініями на кінцеве число таких шматочків, з яких складається інший даний багатокутник? Трохи подумавши, він зрозуміє, що як мінімум необхідно, щоб площі цих багатокутників дорівнювали. Таким чином, вихідне питання перетворюється на наступне: чи правда, що якщо два багатокутники мають однакову площу, то один з них можна розрізати на шматочки, з яких складається другий (ця властивість двох багатокутників називається рівноскладеністю)? Виявляється, це справді так, і про це нам говорить теорема Бойяї-Гервіна, доведена у 30-х роках ХІХ століття. Точніше, її формулювання полягає ось у чому.
Теорема Бойяї-Гервіна.Два багатокутники рівновеликі тоді і тільки тоді, коли вони рівноскладені.
Ідея доказу цього чудового результату ось у чому. По-перше, ми доводитимемо не саме твердження теореми, а те, що кожен із двох даних рівновеликих багатокутників можна розрізати на шматочки, з яких складається квадрат тієї ж площі. Для цього спочатку ми розіб'ємо кожен із багатокутників на трикутники (таке розбиття називаєтьсятріангуляцією). А потім кожен трикутник перетворимо на квадратик (наприклад, за допомогою методу, описаного в пунктах а) і б) справжнього завдання). Залишилося скласти з великої кількості маленьких квадратиків один великий це мивміємо робити завдяки пункту в).
Аналогічне питання для багатогранників становить одну із знаменитих проблем Давида Гільберта (третю), представлених ним у доповіді на ІІ Міжнародному конгресі математиків у Парижі у 1900 році. Характерно, що відповідь на нього виявилася негативною. Вже розгляд двох таких найпростіших багатогранників, як куб і правильний тетраедр, показує, що жоден з них не вдається розрізати на кінцеве число частин так, щоб їх складався інший. І це не випадково — такого розрізання просто не існує.
Вирішення третьої проблеми Гільберта було отримано одним з його учнів Максом Деном вже в 1901 році. Ден виявив інваріантну величину, яка не змінювалася при розрізанні багатогранників на шматочки та складанні з них нових фігур. Однак ця величина виявилася різною для деяких багатогранників (зокрема, куба та правильного тетраедра). Остання обставина явно вказує на той факт, що ці багатогранники рівно складені не є.