Розв’язання задач методом Даламбера
Транскрипт
1 Розв'язання задач методом Даламбера. Відомо, що розв'язання задачі Коші для хвильового рівняння: u a u + f ( u ϕ ( u ( ψ ( . дається формулою Даламбера): a + a ( τ ϕ a + ϕ + a + u( + ψ ( y dy+ dτ f ( y τ dy)) . ( a a a a( τ Використовуючи формулу ( розв'яжемо наступні приклади: Приклад. Розв'язати задачу: u u u + u ( sin . Використовуємо формулу Даламбера). + + sin ydy ( ( ( cos ( + cos ( ( a ( sin sin. ( + + ( +
2 Приклад. Розв'язати задачу: u a u ( l u ( l l ( ll u ( . l У разі цієї задачі ϕ( ( l ψ( f (. l ( ll Розіб'ємо площину змінних) на кілька частин прямими +a -a +al -al +al -al При цьому верхня напівплощина (> розіб'ється на частини -: -a -al -al l/a +al +al 8 9 +a l/a l l У цих частинах виконуються такі нерівності: У частині : +a +a > -a + a & gt; l & gt; a. У частині 4: l>+a>l l> + u a l a. У частині 7: +a > -a l -a l l - - a l u ( a l . Знову використовуємо формулу (. 4
5 У прикладі f ( ϕ( ψ ( перепишеться як: a l l + a ( u( ψ ( y dy Ψ ( + a Ψ( a a a (за формулою Ньютона-Лейбніца) де Ψ) - первісна функції ψ ( a за формулою: Ψ)) ( ψ ( y dy. Обчислимо функцію ( Ψ ( Ψ : обчислювана ay ( a dy l l a a l l l l ay l ) ( ψ ( y dy+ ψ ( y dy ( ( a dy+ dy l.)). напівплощина прямими +a -a +al -al +a-l -a-l.В областях та 8 діє тільки зворотна хвиля в областях та 6 -тільки пряма хвиля в областях 3 4 і 5 діють і пряма і зворотна хвилі але їх дії не складаються як у попередньому прикладі а з Ψ ( + a віднімається ( a областей 9 і 7 хвиля не доходить. Ψ і до 5
6 9 +a +al -a-l 8 -a +a-l -al l l Виходячи з виду функції Ψ ( отримуємо: ( + a ( 3 + a Ψ + a ( 4 58 l ( 96 7 ) Підставляючи ці функції у формулу ( отримуємо: u ( ( a ( 34 a Ψ a ( 56 l ( 897. u((+a-l/ u((l-+a/ u(-(+a+l/ u))((-a+l/u) (-a u(a u( 6
7 Метод продовжень. При розв'язанні задач на напівпрямій використовується метод продовжень. Він ґрунтується на наступному. Нехай функція U( розв'язання задачі Коші: U a U U( Φ( (3 U ( Ψ( . Можна довести лему: Лемма.)) Якщо функції Φ ( і ( умовою U( а якщо функції ( Ψ непарне рішення U( задачі) задовольняє Φ і ? ( > оскільки при > функції U( і u(задовольняють одному й тому ж рівнянню та однаковим початковим умовам) а гранична умова u( для функції u( автоматично вийде з леми. Нехай тепер ми вирішуємо задачу Неймана: 7)
8 u a u u( ϕ ( ψ ( ( 6 u ( : ϕ ( ψ ( Φ ( і Ψ (. ϕ ( : u(u( >>)))); ( u ( sin (7 u( sin > Φ ) ( . Якщо -a> то тим більше +a> а якщо змінна y знаходиться в межах від -a до +a то і змінна y у формулі (5 позитивна. Тому) якщо >a то Φ( a ( a Φ ( + a ( + a Ψ ( y sin y 8)
24 ( f g ( F ( G ( де ( f g ( f ( s g ( s ds f g + f g F G ) ( F ( при. F ( f при ( 3 ))). негативні значення аргументу, тобто є оригіналами.зображення n n! n + n-ціле додатне 3 e a a 4 n a e n n! ( a n-ціле додатне число 5 a b e e a b ( a ( b 6 cosa + a 7 sina a +a 8 cha 9 sha a e cos b a e sin b a a a a a + b b a + b 4)
25 a e ch b 3 a e sh b 4 a Γ a + ( a a b a где Г а e d -гамма-функция Reα > n N натуральним Γ n+ n! при b а b a + 5 а Г + ( a e b ( b a + a Γ) a e d де -гамма-функція Reα > 6 a b c ( b c e + ( c a e + ( a b e ( a b( b c( c a 7 cosa 8 sina 9 cosa cosa cos) ( α ( β ( c α ( + α α ( +α ( +α) β ( β α ( + α ( + β α α sin sh α +α α α cos ch + α α
26 3 4 5 e ( + Φ где y Φ ( z e dy інтеграл помилки z 6 e Φ ( где y Φ ( z e dy інтеграл помилки 7 J ( a где J J ( z функция Бесселя k k ( ( k k 8 J ( ia где J () J ( k! функція Бесселя k k ( ( k k 9 n n! Jn ( a ( n! де J ( n ( k! функція Бесселя) ( + ( + + a a a n n+ ( + a n k k Jn ( ( n k k k! Γ ( k + n+ 3 e) ln + 3 cos a a 4 e n > 6
27 3 sina a 33 a e 4 34 a a e a Φ где z y Φ ( z e dy інтеграл помилки 36 J ( a 37 где J J ( функція Бесселя k k ( ( k k n где n n n ( J a a J ( k! n n k Jn ( n k k 38 4 e) функція Бесселя k k!Γ k + n+ e e a 4 3 a e a a a e a> e e a 4 a 4 n+ n > e e d Є таблиці із зображеннями багатьох інших функцій.7
28. cossin ( d + + (sin ( + + sin ( d (sin ( sin ( d sin cos + cos( sin+ cos sin + cos ( + 4 метод особым точкам и 3 ( e + e) Наприклад ( k функція F() тому що функція має дві особливі точки - полюс 8
29 першого порядку і 3 - полюсадругого порядку так що e e f ( res ( e F ( res + res 3 3 ( k k e e lim ( lim ( 3 3 3! ) ( ( 3 e e e e e e + e lim + lim + lim.) )). Розв'язати крайову задачу: u + u u( ψ ( якщо стрижень напівнескінченний ( у лінії якщо початкова напруга і початковий струм у ній рівні. Розглянути випадок лінії без втрат). ahτ e e ?
35 i f e d f e d. i 3.Синус- та косинус-перетворення Фур'є. Якщо функція f (парна то формулу перетворення Фур'є і зворотного перетворення Фур'є можна привести до вигляду: Fc [f] F(f (cos d Fc [F] f (F(cos d.)) Ці формули називаються формулами прямого і зворотного косинусперетворення Фур'є. функція f (непарна формулу перетворення Фур'є і зворотного перетворення Фур'є можна привести до вигляду: F F s [ ] s f F sin d F f sin d. [ ] Ці формули називаються формулами прямого і зворотного синус-перетворення Фур'є. 4.Рішення задачі Коші для хвильового рівняння. Розв'яжемо задачу: ( ϕ ( ψ ( (. U - перетворення Фур'є функції ( u a u + f u u u u Нехай ( u по змінній х (змінну вважаємо параметром.)) Нехай F( - перетворення Фур'є. Хвильове рівняння в образах Фур'є) враховуючи властивості 3 та 8 пункту : функції f ( 35
36 + ( + (. U a U F або U a U F Розв'язуємо це ОДУ методом варіації довільної постійної. Характеристичне рівняння: λ + a λ ± i U C cos + C sin рішення однорідного рівняння. Щоб отримати рішення неоднорідного рівняння вважаємо C і C функціями від і складаємо для тогощоб їх знайти систему рівнянь: C cos + C sin C ( sin C + cos F(. Розділимо друге рівняння на. отримаємо: C cos + C sin F ( C ( sin + C cos.) Домножимо перше рівняння на cos a а друге на sin a і віднімемо з першого F( рівняння друге. Отримаємо: C sin. Тепер домножимо перше рівняння на sin a а друге на cos a і складемо. Отримаємо : F( C cos. Проінтегрувавши ці рівності одержуємо: ( ? C. отримаємо: Тепер візьмемо похідну від функції U( : 36
37 F( τ F( U ( C sinτdτ ( sin + sin cos + F( τ F( + C + cos τdτ ) ( cos + cos sin. U C.)) і Ψ є перетвореннями умов.Вважаючи що функції Фур'є функцій ϕ( і ψ ( отримаємо: U( Φ( U ( Ψ(. Порівнюючи ці значення функцій і укладаємо що C Φ ( C Ψ ). умовам записується як: F( τ Ψ ( F( τ U ( Φ( sinτdτ cos + + cosτdτ sin ( Ψ F( τ Φ ( cos + sin + sin ( τ dτ))). Щоб знайти рішення вихідної крайової задачі потрібно від отриманої функції U взяти зворотне перетворення Фур'є. d I+ I + I3 37
38 i i i e + e i I Φ ( cos e d Φ ( e d i ( + a i ( a Φ e d+ Φ e d ϕ( + a + ϕ( a i оскільки ϕ ) ( Φ( e d- формула зворотного перетворення Фур'є.)) I sin e d e d i ( + ( Ψ e e ( + Ψ iy d e dy d a i a a i a a a a a a ayy Ψ ( e d dy ψ ( y dy. a a a a)) Інакше так само як для I отримуємо: F( τ i dτ F( τ i I3 sin( τ)d e d sin ( τ e d + a( τ + a( τ d τ ( τ iy e dyd d ) f ( y τ dy. a a a τ a( τ)). a + a ( τ ϕ + a + ϕ a + u( + ψ ( y dy + d τ f ( y τ dy. a a a a ) τ 5.Розв'язання задачі Коші для рівняння теплопровідності. Розв'яжемо задачу: 38
39 ? пункту : U ( a U ( + F ( або U ( + a U ( F (. Вирішуємо це ОДУ методом варіації довільної постійної.)) Вирішуємо однорідне рівняння: U ( + a U ( du a d U ln U a + ln C a U ( Ce рішення однорідного рівняння Щоб отримати рішення неоднорідного рівняння вважаємо C C (функцією від (взагалі кажучи ця функція залежить ще й від параметра тобто C C і підставляємо в рівняння: Ce a Ce a Ce F ( Ce F ( a C F ( e ?
40 Візьмемо перетворення Фур'є від заданого за умови крайового завдання Φ є перетворенням початкової умови. Вважаючи що функція Фур'є функції ϕ ( отримаємо: U(Φ (. Порівнюючи це значення функції U(з отриманим вище укладаємо що CΦ). Остаточне рішення ОДУ, що задовольняє початковій умові записується у вигляді: a a U(Φ(e F(τe) + dτ. Щоб знайти рішення вихідної крайової задачі потрібно від отриманої функції U( взяти зворотне перетворення Фур'є. Отримуємо: i u ( U e d a a ( τ i Φ e + F( τ e d e d a i a ( ) ) I+ I. Для обчислення інтегралів I та I нам знадобиться допоміжний β iα α інтеграл:K( αβ e e d e. β 4β Обчислення цього інтеграла наведемо в кінці пункту. a i iy a i ϕ a i y Φ e e d y e e e d e y dy e e d e y K y a dy ( y e ( y e dy e a Так само як для I отримуємо: 4
41 a ( τ i a ( τ i I F( e d d d d F ( t e d ( y 4a) ( ( d f y e τ τ dy. a) τ Об'єднуючи отримані результати отримуємо формулу яка називається формулою Пуассона: ( y ( y 4 4 a dτ a ( ( u y e dy f y e τ ϕ + τ dy. a a ( τ Ця формула дає вирішення вихідного завдання. β iα α Обчислення інтегралу K( αβ e e d e. β 4β) Зробимо заміну змінних: q β отримаємо: iα q β K( αβ e e d e e dq. β Продиференціюємо функцію по α вважаючи β параметром: iαq iαq iαq dk( αβ d β β iq i β e e dq e e dq e de dα β dα β β iαq iα q iα α e e e e e e dq K( αβ. β β β β q q q Отримали ОДУ щодо невідомої функції ( K α β.розв'язуємо рівняння отримуємо: 4
42 dk( α β α K( α β dα β dk( αβ α d α K( αβ β α ln K( αβ + ln C 4β α 4β K( αβ Ce Зауважимо що q C K) Остаточно отримуємо: K( αβ e β q e dq. 6.Рішення задачі Дирихле для хвильового рівняння на напівпрямій( метод нескінченних перетворень Фур'є. Розв'яжемо задачу Дирихле для хвильового рівняння на підлозі прямої: u a u + f( a оскільки функція ϕ ( ) значень аргументу В останньому рядку використовували формулу sin d. У разі коли a I ϕ( + a ϕ( a при оскільки функція Остаточно отримуємо: + a ψ ( ydy при > a a a I + a ψ ( ydy при a. a т.)). е. при τ >. Оскільки τ позитивно умова τ > свідомо вірно при a a a. a Якщо ж .Тому у випадку коли a a a( y ? τ dτ f ( y τ dy+ dτf ( y ?
56 a a ( τ a a ( τ I 3 cos d τ e dτ ν τ d cos d 4a ( τ 4a ( τ a a ν τ ) ( τ d τ a ' відповідь: ( + y ( y u ( 4a 4a ϕ y e e dy a + + ( + y ( y dτ 4a τ 4a τ a ν 4a ) ) змінних : q β. Тоді ( αβ α 4β β L e cos αd e. β q αq β L e cosαd e cos dq. α α q αq sin e e cos dq e cos dq β β β β β β α L( αβ β (вважаємо β параметром. Вирішуємо отримане диференціальне рівняння: 56
57 dl L ( 9 u + f(a + a ϕ + ψ (y dy+ a a ϕ(+ a + ϕ(a + a a + ψ (y dy+ ψ (y dy+ u a a + a)) + dτ f ( y τ dy + a a a a a a a d f ( y dy + a μ ( d a при I agree).