Середнє квадратичне відхилення, Коефіцієнт варіації
Квадратний корінь з дисперсії зветься середнього квадратичного відхилення від середньої, яке розраховується наступним чином:
Елементарне перетворення алгебри формули середнього квадратичного відхилення наводить її до наступного виду:
Ця формула часто виявляється більш зручною у практиці розрахунків.
Середнє квадратичне відхилення так само, як і середнє лінійне відхилення, показує, наскільки в середньому відхиляються конкретні значення ознаки від їхнього середнього значення. Середнє квадратичне відхилення завжди більше середнього лінійного відхилення. Між ними є таке співвідношення:
Знаючи це співвідношення, можна за відомим показником визначити невідомий, наприклад, але(Iрозрахувати а і навпаки. Середнє квадратичне відхилення вимірює абсолютний розмір коливності ознаки і виражається в тих же одиницях вимірювання, що і значення ознаки (рублях, тоннах, роках тощо) воно є абсолютною мірою варіації.
Дляальтернативних ознак,наприклад наявності або відсутності вищої освіти, страховки, формули дисперсії та середнього квадратичного відхилення такі:
Покажемо розрахунок середнього квадратичного відхилення за даними дискретного ряду, що характеризує розподіл студентів одного з факультетів ВНЗ за віком (табл. 6.2).
Таблиця 6.2.Розподіл студентів за віком
Результати допоміжних розрахунків дано у графах 2-5 табл. 6.2.
Середній вік студента, років визначений за формулою середньої арифметичної зваженої (графа 2):
Квадрати відхилення індивідуального віку студента від середнього містяться у графах 3-4, а твори квадратів відхилень навідповідні частоти - у графі 5.
Дисперсію віку студентів, років, знайдемо за формулою (6.2):
Тоді = л/3,43 1,85 *оду, тобто. кожне конкретне значення віку студента відхиляється від середнього значення 1,85 року.
Коефіцієнт варіації
За своїм абсолютним значенням середнє квадратичне відхилення залежить тільки від ступеня варіації ознаки, а й від абсолютних рівнів варіантів і середньої. Тому порівнювати середні квадратичні відхилення варіаційних рядів із різними середніми рівнями безпосередньо не можна. Щоб мати змогу такого порівняння, потрібно знайти питому вагу середнього відхилення (лінійного чи квадратичного) у середньому арифметичному показнику, вираженому у відсотках, тобто. розрахувативідносні показники варіації.
Лінійний коефіцієнт варіаціїобчислюють за формулою
Коефіцієнт варіаціївизначають за такою формулою:
У коефіцієнтах варіації усувається не лише непорівнянність, пов'язана з різними одиницями виміру досліджуваного ознаки, а й непорівнянність, що виникає внаслідок відмінностей у величині середніх арифметичних. З іншого боку, показники варіації дають характеристику однорідності сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33%.
За даними табл. 6.2 та отриманим вище результатам розрахунків визначимо коефіцієнт варіації, %, за формулою (6.3):
Якщо коефіцієнт варіації перевищує 33%, це свідчить про неоднорідності досліджуваної сукупності. Отримане у випадку значення говорить про те, що сукупність студентів за віком однорідна за своїм складом. Таким чином, важлива функція узагальнюючих показників варіації – оцінка середніх надійності. Чим меншес1,а2 іV,тим однорідніше отримана сукупність явищ і надійніше отримана середня. Відповідно до математичної статистики "правила трьох сигм" у нормально розподілених або близьких до них рядах відхилення від середньої арифметичної, що не перевищують ±3ст, зустрічаються в 997 випадках з 1000. Таким чином, знаючихі а, можна отримати загальне первісне уявлення про варіаційний ряд. Якщо, наприклад, середня заробітна плата працівника по фірмі склала 25 000 руб., а дорівнює 100 руб., то з ймовірністю, близькою до достовірності, можна стверджувати, що заробітна плата працівників фірми коливається в межах (25 000 ± ± 3 х 100 ) тобто. від 24 700 до 25 300 руб.