Сфероїд Вікіпедія

Еліпсоід обертання(сфероїд) - поверхня обертання в тривимірному просторі, утворена при обертанні еліпса навколо однієї з його головних осей.

Термін «сфероїд» для позначення двох варіантів еліпсоїда обертання ввів Архімед: «… ми вважаємо наступне: якщо еліпс при збереженні більшої нерухомої осі повертається, повертаючись у вихідне положення, то охоплювана ним фігура називатиметься витягнутим сфероїдом (παραδαα Якщо еліпс повертається при збереженні в нерухомості малої осі і повертається назад, то фігура, що охоплюється ним, буде називатися сплюснутим сфероїдом (επιπλατυ σφαιροιδες).» [1]

Еліпсоїд обертання є окремим випадком еліпсоїда, дві з трьох півосей якого мають однакову довжину ( a x = a y = a =a_=a> ):

x 2 a x 2 + y 2 a y 2 + z 2 b 2 = ρ 2 a 2 + z 2 b 2 = 1. >^gt; ;>=>>>+>>>=1.>

В окремому випадку, коли всі три півосі рівні, вихідний еліпс являє собою коло, а еліпсоїд обертання вироджується у сферу.

Зміст

Витягнутий еліпсоїд обертання

Витягнутий еліпсоїд обертання (витягнутий сфероїд) можна визначити як геометричне місце точок простору, для яких сума відстаней до двох заданих точок (фокусів) постійна.

Дзеркало у вигляді витягнутого еліпсоїда обертання має таку властивість: промені світла, що виходять з одного з фокусів еліпсоїда, після відображення зберуться в іншому фокусі.

Сплюснутий еліпсоїд обертання

Сплюснутий еліпсоїд обертання (сплюснутий сфероїд) можна також визначити як геометричне місце точок простору, для яких сума відстаней до найближчої та найбільш віддаленої точкизаданого кола постійна.

Основні формули

• Площа поверхні:

2 π a ( a + b 2 a 2 − b 2 ln ⁡ ( a + a 2 − b 2 b ) ) -b^>>>\ln \left(-b^>>> ;>\right)\right)>, (для сплюснутого, a > b) 2 π a ( a + b 2 b 2 − a 2 arcsin ⁡ ( b 2 − a 2 b ) ) > -a^>>>\arcsin \left(-a^>>>\right)\right)>, (для витягнутого, a

• Об `єм:

4 3 π a 2 b >\pi a^b>

Тут o ε - кутовий ексцентриситет:

o ε = arccos ⁡ ( b a ) = 2 arctan ⁡ ( a − b a + b ) &rtright)=2arctan \left(>>\right)\quad \mathrm <> > , (Плюснутий) = arccos ⁡ ( a b ) = 2 arctan ⁡ ( b − a b + a ) &rt > , (витягнутий)(sin(oε) часто виражається як ексцентриситет,«e»)

Форма Землі — у хорошому наближенні є сплюснутий еліпсоїд обертання з a b ≈ 301 299 >\approx >>> .

Застосування

Властивість витягнутого еліпсоїда обертання відображати промені, спрямовані в один із фокусів, в інший фокус, використовується в телескопах системи Грегорі та в антенах Грегорі.

---