Швидкості та прискорення точок при сферичному русі, Лекції та приклади вирішення задач механіки
Швидкості точок твердого тіла, що здійснює сферичний рух, у кожний момент часу визначаються як їх обертальні швидкості при обертанні довкола миттєвої осіΩ(рисунок 3.4).
Знаючи положення миттєвої осі обертанняΩі кутову швидкість тілаω, можна визначити швидкість будь-якої точки тілаMяк швидкість цієї точки у обертальному русі навколо миттєвої осі за відомою формулою
деr- радіус-вектор точкиM, проведений з нерухомої точкиO.
деhΩ- відстань точки від миттєвої осі обертання.
Введемо рухомуOxyzта нерухомуOx1y1z1системи координат аналогічно малюнку 3.1.
Для проекцій швидкості точки на нерухомі та рухомі осі отримані формули Ейлера:
- для нерухомої системи координат
- для рухомої системи координат
З формул (4), (5) можна отримати рівняння миттєвої осі в нерухомій та рухомій системах координат, поклавши для точок, що лежать на миттєвій осі, всі проекції швидкості дорівнюють нулю.
- Для нерухомої системи координат:
- Для рухомої системи координат:
Якщо положення миттєвої осіΩвже встановлено, то для знаходження кутової швидкостіωдостатньо знати швидкістьνбудь-якої точкиM, що не лежить на миттєвій осі (рис. 3.4).
Тоді, опустивши з цієї точки перпендикулярhΩна миттєву вісьΩ, отримаємоν = ω ⋅ hΩ, звідки
Для визначення прискорення точки твердого тіла служить теорема Рівальса :прискорення будь-якої точки твердого тіла при сферичному русі визначається якгеометрична сума її обертального та запобіжного прискорень
Модулі цих прискорень (рисунок 3.5)
деhE— відстань від точки до осі кутового прискоренняE,
hΩ- відстань від точки до миттєвої осіΩ.
Модуль прискорення точки можна знайти як діагональ паралелограма:
При сферичному русі осестремительное прискоренняaΩ осспрямовано перпендикуляру, опущеному з точки на миттєву вісьΩ, а обертальне прискоренняaE врвиявляється перпендикулярно площині, що проходить через вектор кутового прискоренняεі радіус-векторr.
Напрямок обертального прискорення не збігається із напрямом швидкостіν.