Системи ОДУ

Багато фізичних процесів описуються з допомогою кількох ОДУ, тобто як системи, яку у вигляді прийнято записувати так: (1). У системі 1 невідомими є деx- незалежна змінна.

Порядком системи ОДУ називається число

Сукупність співвідношень виду (2), де x-незалежна змінна, називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.

Система диференціальних рівнянь першого порядку 2, дозволена щодо похідних, називається нормальною системою ОДУ і має вигляд 3.

Якщо в системі 3 функції

явно не залежать отx, то дана системакільких ОДУ, тобто у вигляді системи, яку в загальному вигляді прийнято записувати так: . ОДУ називається стаціонарною або автономною.

При вирішенні конкретної фізичної задачі доводиться мати справу з поняттям математичної моделі, яка включає систему ОДУ виду 1 або 2 і граничні умови. Так для нормальної системи ОДУ 3 початкові умови задаються в деякій точці інтервалу, наприклад, у точці

, і записується так:(4) тут-задані числа, які називаються початковими умовами. Системи ОДУ 3 і 4 називаються математичною моделлю, в результаті якої отримують приватне рішення. Перш ніж знаходити рішення математичної моделі 3-4, необхідно перевірити її на існування та єдиність рішення.

Якщо у певній області Gn+1- мірного простору змінних

в системі 3 у точціфункціїє безперервними за своїми аргументами і мають безперервні приватні похідні. У вихідній точці та її околиці, то рішення даної математичної моделі 3-4 існує і воно єдине і має вигляд

Якщо умови теореми виконуються у будь-якій точціобласті G, рішення математичної моделі 3-4 існує єдино у всій областиG.

Точка ().n+1 – мірного простору називається звичайної системи 2, якщо ця система має єдине рішення і задовольняє початковому умові 4.

Нехай будь-яка точка n+1-вимірного простору області G є звичайною, тоді можна знайти функції (5), де деякі постійні, що задовольняють системі 2, називаються загальним рішенням цієї системи.

Якщо вимагати, щоб загальне рішення 5 задовольняло початковим умовам 4, ми визначимо значення постійних

і цим отримаємо приватне рішення.

Деякі методи вирішення систем ОДУ

Надалі розглядатимемо методи вирішення, як завдання Коші для нормальної системи ОДУ, так і для отримання загального рішення нормальної системи ОДУ.

Метод зведення нормальної системи ОДУ до одного ОДУn-го порядку

Виявляється, за допомогою різних прийомів, таких як диференціювання, заміна змінної і так далі, можна звести нормальну систему ОДУ до диференціального рівняння n-го порядку, виду

(1), якщо коефіцієнтиу рівнянні 1 є постійними, алгоритм вирішення ОДУ 1 зводиться до знаходження функцій, де. – загальне рішення рівняння, що відповідає однорідному. Для цього необхідно характеристичне рівняння, знайти його коріння, потім фундаментальну систему рішень та записати вид функції. Приватне рішення визначається по виду правої частини рівняння 1, тобто функції f (x), методом невизначених коефіцієнтів. З іншого боку, будь-яке лінійне неоднорідне ОДУn-го порядку можна звести до нормальної системи ОДУ. Дійсно, ОДУn-го порядку виду(2) за допомогою введення нових змінних зводиться до наступної нормальної системи(3)

Таким чином метод, що вивчається, полягає в тому, щоб за допомогою прийомів диференціювання невідомої функції їх виключення з нормального ОДУ 3 привести цю систему до виду 1, знайти загальне рішення цього ОДУ n-го порядку і знайти загальне рішення цього ОДУ відомими методами і навпаки, іноді ОДУn -го порядку.

---