Спектральна послідовність - Технічний словник Том V
Спектральна послідовність Лере для власного відображення добре відома ([15]) і має численні додатки в топології, геометрії алгебри та комплексному аналізі. Для наших цілей, особливо для доказу теореми 2.3, потрібно трохи узагальнити стандартну теорію. Спектральна послідовність (6.4) вироджується і локально. Спектральні послідовності, будучи найпотужнішим апаратом дослідження похідних функторів, апроксимують групи гомології групи групами гомології її підгрупи та факторгрупи. Спектральна послідовність Атті-Хірцебруха тут вироджується тільки для комплексів X, гомології яких не мають крутіння; однак і в цьому випадку нетривіальна приєднаність кільцевої структури можлива. Спектральна послідовність, що відповідає цій точній парі, називається спектральною послідовністю Адамса. Спектральна послідовність для композиції морфізмів показує, що К0 є підступним функцією для власних морфізмів. Аналогічна спектральна послідовність існує у сингулярних гомологіях. Спектральна послідовність розшарування не залежить (з точністю до ізоморфізму) від того, як база розбита на клітини. Спектральна послідовність інформації про це нам не дає. Спектральну послідовність довільного безперервного відображення р: X - Y вивчав Дюевель [202], який визначив у загальних припущеннях поняття характеристичних класів відображення р і вказав зв'язок цих класів з диференціалами спектральної послідовності. Його спектральна послідовність влаштована так. Метод спектральних послідовностей, вперше відкритих Лере (середина 1940 - х рр.) для безперервних відображень і,зокрема, для розшарування, має фундаментальне значення серед ефективних засобів гомологічної алгебри і дозволяє, зокрема, зробити далекосяжне обчислення гомології ряду просторів, не вникаючи детально в їхню геометричну природу. Аналіз спектральних послідовностей цих розшарування показує, що за п N обмеження Нп ( Ха 1; К) - Я ( Хс; К) є ізоморфізмом. Неясно, чи збігаються так певні групи зі звичайними групами чеховської когомології простору XQ у випадку, коли простір XX. Q не паракомпактно, але оскільки такий випадок нам не зустрінеться, ми не досліджуватимемо це питання. Розглянемо спектральну послідовність, породжену цією фільтрацією. Розглянемо спектральну послідовність простору Е, породжену цією фільтрацією.
Розглянемо когомологічну спектральну послідовність. Відповідні до цього спектральні послідовності мають багато різних застосувань. Зірки початку спектральної послідовності, які гарячіші за зірок класу АТ, дають водневі лінії меншої інтенсивності, оскільки підвищується ступінь іонізації. Умноження в спектральній послідовності буде узгоджено з множенням, яке можна ввести в Е & і в Е оа відповідно до теореми Лері. Умножение в спектральної послідовності розшарування спочатку вводяться теж добутку двох рівних розшарування. Виникає гомоморфізм спектральних послідовностей поверхів двох розшарування. За допомогою спектральної послідовності Ейленберга-Мура ми отримуємо опис кільця когомологій Zp в термінах кільця граней k (P) і також ряд додаткових результатів про ці когомології у випадку, коли над багатогранником Р є хоча б одне квазіторичне різноманіття. У цьому розділі ми припускаємо, що k -поле. Знову в спектральній послідовності Серра розшарування X - XG-BG всі диференціали дорівнюють 0, так як у члені Е H (BG) аЯ (Х) немає елементів непарних ступенів. Обчислити - спектральну послідовність для тричленної фільтрації та довести, що отримана послідовність еквівалентна точної послідовності трійки. Промоделювати особливостями спектральну послідовність розшарування подібно до того, як комплекс Морса моделює комплекс гомології: зіставити геометричні об'єкти диференціалам і отримати нерівності Морса - існування якихось особливостей (і оцінки знизу тих чи інших характеристик цих особливостей) у термінах диференціалів спектральної послідовності. Тепер розглянемо спектральну послідовність Ейленберга-Мура розшарування р: ВТР – ВТ із шаром ZP. Через нерівність ( 14) ми отримуємо Е % Е, що й доводить нашу теорему. Ці гомології н спектральні послідовності функційно залежать від К. Ін маємо дві спектральні послідовності. Нижній рядок у другому члені однієї спектральної послідовності ст/У Д, у другому члені іншої послідовності - те, чому має бути дорівнює H (BjZ &) за теоремою Бореля. Диференціал d1 нашої спектральної послідовності відображає твірну групи Е § в подвоєну твірну Е, відображає твірну E - j в подвоєну твірну Е і діє тривіально на інших групах Ерд. А - гомоморфізм спектральних послідовностей, індукований діагональним відображенням розшарування.
Мультиплікативна структура в спектральній послідовності Лере виникла з когомологічного множення, і це було природно, тому що всі спектральну послідовність групи, що входили в ату, були групами когомологій, та їх підгрупами. Групи,складові спектральну послідовність Адамса - це гомотопічні групи та його підгрупи. Розглянемо член Е спектральної послідовності Лере-Серра даного розшарування. ЛЕРІ СПЕКТРАЛЬНА НАСЛІДНІСТЬ, спектральна послідовність безперервного відображення - спектральна нос лід, що зв'язує когомоло-гії зі значеннями в пучку абелевих груп Щ - на топо-логнч. Єдиний диференціал d1 нашої спектральної послідовності, який може виявитися нетривіальним, діє між цими клітинами; це в точності граничний гомоморфізм Нз ( ( 82) 2, S2; R) - Hz ( S2, R) - З виду утворює першої з цих груп ( тобто з визначення множини ( i 2) в B ( S2, 2) ) негайно слідує, що цей диференціал є ізоморфізмом. Із цього випливає наша лема. Слідуючи звичайній процедурі побудови спектральної послідовності за простором з фільтрацією, ми отримуємо спектральну послідовність Серра нашого розшарування, яка є основним знаряддям дослідження когомологічних або гомологічних зв'язків між базою, шаром та простором розшарування. Тоді очевидно виникає гомоморфізм спектральних послідовностей ( гомологічних), тобто відображаються всі групи Х Е У - - YE. Ці гомоморфізми перестановочні з диференціалами, тому всі властивості цих груп перестановочні з гомоморфізмами. Це ж правильно і для когомологічних спектральних послідовностей, тільки стрілка спрямована у протилежний бік. Один із способів побудови спектральної послідовності теореми 4.1 полягає в тому, щоб записати (1.5) у вигляді пари коротких точних послідовностей, розглянути довгі точні послідовності груп когомологій, що виникають, і скористатися елементарним діаграмним пошуком. Цей же діаграмнийпошук дозволяє, звичайно, довести все, що виводиться із спектральної послідовності. Отже, член Е спектральної послідовності теореми 4.1 точності такої ж, як і у випадку теореми 5.1, де L тривіально. У цьому випадку в спектральній послідовності Серра знову немає ненульових диференціалів, що видно просто з міркувань розмірності. Припустимо, що ми збудували спектральні послідовності Адемса для просторів X і х, і /: Х - - Х - деяке відображення. Це дає (на основі відповідної спектральної послідовності) певну інформацію про групу пп 1 (Х), що дозволяє в багатьох випадках її повністю обчислити. У сучасній формі ці обчислення також ґрунтуються на понятті локалізації. Починаючи з члена Е2, ця спектральна послідовність є природною. Отже, ми отримали, що спектральна послідовність С - комплексу, профільтрованого своїми кістяками (і розглянута над будь-якою групою коефіцієнтів коефіцієнтів) тривіальна. А) і, отже, спектральна послідовність Ег 2 мають властивість функторіальності. Оскільки всі диференціали першого члена цієї спектральної послідовності дорівнюють нулю, а ми розглядаємо другий член, то D - диференціальний оператор другого порядку. Для знаходження D надійдемо таким чином.
Зазвичай у додатках спочатку доводять існування спектральної послідовності, а потім вже обчислюють Е, використовуючи Е як послідовні наближення. Оскільки при rjk мають місце (5.4) та (5.5), одразу отримуємо [ порівн. Виявляється, що сам факт існування спектральної послідовності розшарування в сенсі Серра несе в собі достатню кількість інформації, що дозволяє в деяких випадках повністю обчислити групи гомології. Таких випадків,звичайно, не дуже багато, але вони дуже переконливо ілюструють міць цього методу. Залежно від геометрії та розглянутих розшарування спектральна послідовність дає правильні співвідношення між цими групами когомологій (пор. в решті цієї статті ми вивчатимемо різні окремі випадки - перетворення. Взагалі кажучи, наступні за Я2 члени спектральної послідовності Лере виключно Але вже член Е2 дає точне опис ролі, яку відіграє система коефіцієнтів Я. Тут доречно сказати кілька слів про взаємини спектральної послідовності безперервного відображення першого типу і спектральної послідовності Лере. нульмерних відображень не є випадковим, а саме можна довести (див., наприклад, [39]), що спектральна послідовність Лере в цьому випадку (принаймні для замкнутих відображень) вироджується і тому в зазначених ситуаціях марна. у зазначених ситуаціях може бути корисною хоча б тому, що в окремому випадку відображення на фактор-простір щодо вільної дії кінцевої групи збігається зі спектральною послідовністю Картана-Гротендика.