Сторінка №074

Сторінка №074.

Підручник:Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: профіл. рівень / М. Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головін. - М.: Просвітництво, 2010. - 463 с.: Іл.

OCR-версія сторінки з підручника (текст сторінки, що знаходиться вище):

Що погано у цьому «визначенні»? Головним чином те, що визначення неформальне — незрозуміло, що означає «точка прагне точки» і «пряма (секуча) „прагне" до прямої». Проте спробуємо на підставі інтуїтивного уявлення про дотичну як

про «граничне положення сіючої» вивести рівняння дотичної.

Зрозуміло, що дотична проходитиме через точку (х0; f(x0)) (через цю точку проходять все січені).

Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної. Нехай січна АВ проходить через точки А(х0; f(x0)) та В(х0 + Ах; f(x0 + Дх)). Кутовий коефіцієнт січної ЛБ, рівний тангенсу кута нахилу прямої АВ до позитивного напрямку осі абсцис (надалі ми просто говоритимемо «тангенс кута нахилу прямої»), дорівнює

(Див. рис. 9.10). Розумно припустити, що кутовий коефіцієнт дотичної k (до якої «прагне» січуча) дорівнюватиме межі кутового коефіцієнта сіючої (або, що те ж саме, тангенс кута нахилу дотичної дорівнює межі тангенса кута нахилу сіючої) при Ах -> 0: , f(x0+Ах)-f(x0)

Зауважимо, що остання межа не що інше, як похідна функції f у точці х0, т. е. k = f'(x0).

Нехай функція /"має похідну в точці х0. Дотичної до графіка функції f в точці х0 називається пряма з кутовим коефіцієнтом до = f '(x0), що проходить через точку (х0; f(x0))(Рис. 9.11).

Зауважимо, що з цього визначення випливає геометричний зміст похідної: похідна функції в точці - це кутовий коефіцієнт 1, що стосується графіка функції, проведеної в цій точці. Якщо похідна позитивна, то чим вона більша, тим швидше зростає функція в даній точці, тим більше кутовий коефіцієнт дотичної і тим крутіше сама дотична.

1 Нагадаємо, що кутовий коефіцієнт прямий дорівнює тангенсу кута, утвореного цією прямою і позитивним напрямом осі Ох.