Структура теорем

У математиці кожне твердження, справедливість якого встановлюється шляхом міркувань, називаєтьсятеоремою. У будь-якій теоремі можна виділити роз'яснювальну частину, умову та висновок. Отже,структуру теореми представляємо так:PI "якщо А, то В", де P означає роз'яснювальну частину, А - умова , а У - висновок теореми.

Види теорем:

1) З А випливає Б. (a=>b) -пряме затвердження.

2) З Б випливає А. (b=>a) -зворотне твердження.

3) З не А випливає не Б. ( )протилежне твердження.

4) З не Б випливає не А. ( )контрапозитивне твердження.

Якщо імплікація P=>Q є теоремою, то : умова P називається достатньою умовою умови Q, а умова Q – необхідною умовою умови P.

Якщо теоремами є імплікації P = gt; Q та Q=> P, то кожна з умов є необхідною і достатньою для іншого.

Етапи роботи з теоремою в школі

Професійний - Виконання логіко-математичного аналізу, вибір методів роботи, відбір змісту;

Підготовчий - актуалізація необхідних знань учнів; мотивація необхідності вивчення факту;

Введення формулювання теореми та здійснення її доказу-первинне засвоєння факту та його докази учнями;

Застосування теореми як аргумент при виведенні наслідків.

Етапи вивчення теореми учнями

Ознайомлення з фактом, відображеним у теоремі,

Засвоєння змісту теореми, її структури.

Ознайомлення зі способом доказу,

Встановлення зв'язку з іншими теоремами

Методи введення теореми

Система завдань на засвоєння теореми та її докази

На розкриття необхідності знання математичного факту, сформульованого в теоремі;

На актуалізацію фактів, що використовуються при доказах та способах доказів, аналогічних використовуваним для даної теореми;

На усвідомлення факту, сформульованого в теоремі;

На засвоєння формулювання;

На засвоєння окремих етапів доказу;

На повторення ходу доказу (наприклад, на інших кресленнях);

На пошук іншого методу підтвердження;

На застосування теореми для отримання нових математичних фактів (наслідків);

На застосування теореми для вирішення інших завдань на обчислення, побудова та докази.

Структура формулювання: умова, висновок, роз'яснювальна частина.

Логічна структура умови та укладання: кон'юнктивна, диз'юнктивна.

Приклади

1. Теорема "Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні або ділять його кути навпіл, цей паралелограм - ромб" має структуру А V В => C, де А - "діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні"; В - "(діагоналі паралелограма) ділять його кути навпіл"; С - "цей паралелограм - ромб".

2. Теорема про середню лінію трапеції має структуру: А => & С, де А - "чотирикутник - трапеція"; В - "його середня лінія паралельна основам"; С - "(його середня лінія) дорівнює напівсумі підстав".

Часто у формулюваннях теорем використовується вираз "необхідний і достатньо" (Ознак). У логіці цей вираз відповідає еквіваленції, яка, як відомо,представима як кон'юнкції двох імплікацій. Одна з цих імплікацій виражає теорему, що доводить НЕОБХІДНІСТЬ ознаки, інша висловлює теорему, що доводить достатність ознаки. Наприклад, ознака перпендикулярності двох площин:

"Для того щоб дві площини були перпендикулярні, НЕОБХІДНО і ДОСИТЬ, щоб одна з них проходила через пряму, перпендикулярну до іншої", може бути сформульований і так: "Дві площини перпендикулярні, ЯКЩО І ТІЛЬКИ ЯКЩО одна з них проходить через пряму, перпендикулярну інший":

---