Ступінні ряди з комплексними членами та їх властивості - MathHelpPlanet
Обговорення та вирішення завдань з математики, фізики, хімії, економіки
Часовий пояс: UTC + 3 години [ Літній час ]
Введення в аналіз
Теорія черг (СМО)
Ступінні ряди з комплексними членами та їх властивості
Коло збіжності статечного ряду
Ступінним рядом називається функціональний ряд (3.1), члени якого утворені ступенями [math]z^n[/math] або [math](z-z_0)^n[/math] , тобто ряд виду
Ряд (3.9) називається поруч за ступенями різниці [math] (z-z_0) [/ math]; ряд (3.10) - поруч за ступенями [math] z [/ math]. Очевидно, один ряд до іншого можна перетворити простою заміною.
Особливістю статечного ряду як приватного виду ряду (3.1) є аналітичність його членів у всій комплексній площині. Інша особливість пов'язана з видом його області збіжності. У випадку функціонального ряду, областю збіжності може бути безліч довільного виду (див. приклади 3.1-3.5). Це і вся площина, і площина з виколотою точкою, і коло, і зовнішність кола, і напівплощина, і кільце, і безліч (ряд розходиться всюди). У разі статечного ряду останнього випадку бути не може - ряд має хоча б одну точку збіжності. Так, ряд (3.9), очевидно, сходиться в точці [math] z_0 [/ math], а ряд (3.10) - в точці [ math] z = 0 [/ math].
У прикладі 3.1 визначалася область збіжності статечних рядів виду (3.10). Крім двох тривіальних випадків області збіжності - вся площина і тільки одна точка, у двох інших областю збіжності виявляється коло, як і для ряду виду (3.9) приклад 3.4, п. "а". Отриманий результат є випадковим. Справді, областю збіжності статечного ряду є коло. При цьому область збіжності, що складається з однієї точки, можна розглядатияк коло радіусу [math]R=0[/math] , а у разі збіжності ряду у всій комплексній площині як коло радіусу [math]R=\infty[/math] . Доказ цього твердження виходить з основної теореми теорії статечних рядів - теореми Абеля, яка формулюється і доводиться так само, як і в дійсній галузі.
Теорема Абеля про збіжність ряду
Теорема 3.3 (теорема Абеля). Якщо статечний ряд (3.10) сходиться в точці [math]z_0\ne0[/math] , то він сходиться, і до того ж абсолютно, для будь-якого [math]z[/math] , що задовольняє нерівності [math]z [math]z> R[/math] розходиться, тобто. коло [math]z=R[/math] поділяє площину на дві частини: всередині кола ряд сходиться, поза - розходиться. Радіус цього кола - число [math] R [/ math] - називається радіусом збіжності, коло [math] z
Формула Коші-Адамара
Радіус збіжності статечного ряду визначається за формулою Коші-Адамара
Тут [math]\varlimsup\limits_\sqrt[n]=\ell[/math] - верхня межа послідовності [math]a_n=\sqrt[n][/math]. Він завжди існує (кінцевий чи нескінченний), і до того ж єдиний. У випадку [math]\ell=+\infty[/math] вважають [math]R=0[/math] , а у випадку [math]\ell=0[/math] вважають [math]R=\infty[ / Math] .
1. Для ряду (3.9) маємо таке саме твердження: він сходить у колі [math] z-z_0
Приклад 3.8. Довести, що для ряду [math]\sum_^c_nz^n[/math] , де [math]c_n\ne0[/math] для будь-якого [math]n[/math] , радіус збіжності можна визначити за формулами:
Знайдемо область збіжності ряду, використовуючи формули (3.8):
Якщо [math]\lim_\sqrt[n]=0[/math] , то нерівність [math]f(z)
Властивості статечних рядів
1. Якщо [math] R \ ne0 [/ math], тобто. ряд (3.10) сходить у колі [math]z [math]\sum_^z^n,
k>0[/math] , відрізняютьсявід [math]\sum_^z^n[/math] на кінцеве число доданків.
а) Для ряду маємо
Дії над статечними рядами
Крім згаданих вище властивостей диференціювання та інтегрування статечних рядів усередині кола збіжності як рядів, що рівномірно сходяться, вони мають у колі збіжності загальними властивостями сходяться, зокрема абсолютно сходяться, рядів: ряди можна складати і перемножувати, тобто. розглядати суму та добуток рядів; можна також розглядати їхнє ставлення - розподіл рядів.
Розглянемо докладніше арифметичні дії над статечними рядами. Позначимо [math]R_1[/math] і [math]R_2[/math] — радіуси збіжності двох рядів [math]\sum_^ a_nz^n[/math] і [math]\sum_^b_nz^n[/math] .
1. У спільній області збіжності, тобто. у колі [math]z
Підстановка ряду в ряд
4. Ще одна дія - підстановка ряду в ряд пов'язане з розкладанням у ряд складної функції. Нехай ряд [math]\sum_^c_nu^n[/math] сходить у колі [math]u
Узагальнення властивостей статечних рядів
Узагальним властивості статечних рядів та дії над ними у вигляді затвердження.
1. Ступіньовий ряд [math]\sum_^c_nz^n[/math] сходить у колі [math]z
Ряди з комплексними членами за цілими ступенями
Розглянемо два ряди [math]\sum_^a_n(z-z_0)^n[/math] і [math]\sum_^\frac[/math]. Перший ряд - статечної і, якщо він сходиться не тільки в одній точці [math] z_0 [/ math], але і не всюди, то сходиться в колі [math] z-z_0 [math] z-z_0 & frac = R [ / Math] .
Якщо [math]r [math]r_1>r,
R_1 [math]z>2[/math] . Остаточна відповідь:
Зауважимо, що функція [math]S(z)[/math] є аналітичною всюди, крім точок [math]z=2[/math] і [math]z=3[/math] , сумою даного ряду вона є тільки в кільце [math]2
Зазначимо також, що вданому ряді відсутня вільний член. Ряд [math]\sum_^ \frac+ \sum_^\frac[/math] , де вільний член дорівнює 1 (при [math]n=0[/math] ), очевидно, сходиться в тому ж кільці, а сума його дорівнює
Вона справді відрізняється лише з величину вільного члена, тобто. на одиницю від знайденої вище.