Судження, висновки, силогізми чи досягнення античної логіки
Судження, висновки, силогізми ... або досягнення античної логіки в одному пості
Коли я навчався у школі, ми вивчали логіку, але зараз навіть у моєму улюбленому ліцеї її чомусь не викладають. Більше того, я дізнався, що більшість моїх знайомих (навіть успішно закінчили виші) не знають, ні про логічний квадрат, ні про різні модуси. У цьому невеликому топіку, я постараюся коротко розповісти про все. Відразу скажу, що гуру дискретної математики навряд чи дізнаються про щось нове, але іншим має бути як мінімум цікаво, а як максимум корисно.
Почнемо з самих основ. Тобто. з думок. Якщо не вводити суворих визначень, то в судженнях просто щось стверджується або заперечується. У переважній більшості мов судження будуються за наступною формою S є P, причому S називають суб'єктом судження , а P предикатом .
Судження можна ділити за багатьма критеріями. Наприклад, на прості (судження без логічних зв'язок) та складні. Прості судження у своїй можна ділити на атрибутивні (стверджують чи заперечують наявність атрибута), екзистенційні (стверджують чи заперечують існування чогось) і судження з відносинами. Інший варіант класифікації суджень - це класифікація за якістю: твердження поділяються на ствердні та негативні. Найцікавішою для нас класифікацією є класифікація за кількістю. Її ми розглянемо трохи докладніше.
• Загальноствердні судження виду "все S є P" називають судженнями типу A.
• Приватноствердні судження виду «деякі S є P» називають судженнями типу I.
• Загальнонегативні судження виду «жоден S немає P» називають судженнями типу E.
• Приватнонегативні судження виду «деякі S немає P» називають судженнями типу O.
Традиція позначати судженнялітерами AIEO виникла ще в середні віки. Ці голосні взяті з латинських слів afirmo (стверджую) і nego (заперечую).
Класифікація суджень за кількістю важлива, тому що на її основі було побудовано знаменитий логічний квадрат.
У кутах квадрата показані види суджень, але в сторонах і діагоналях квадрата вказані відносини між відповідними судженнями. Ці відносини потребують деяких пояснень.
Якщо між судженнями діє ставлення підпорядкування, то про їхню істинність можна сказати наступне. Якщо загальне судження істинно, то підлеглі судження також істинні. Якщо загальне судження хибне, про приватне судження нічого певного стверджувати не можна. Якщо приватна думка істинна, то про спільне нічого певного стверджувати не можна. Якщо приватне судження хибне, те й загальне судження теж хибне.
Контрарні судження можуть бути одночасно хибними, але не можуть бути істинними.
Субконтрарні судження можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути хибними.
Контрадикторні судження неможливо знайти одночасно ні істинними, ні хибними. Тобто. якщо одне з контрадикторних суджень є істинним, то друге обов'язково хибне і навпаки.
Розібравшись із судженнями, можна перейти до правил отримання нових суджень, тобто. висновків. Почнемо з найпростіших безпосередніх висновків.
Нове судження виходить шляхом зміни якості посилки. Для цього необхідно у вихідне судження вставити два заперечення: перед зв'язуванням та перед предикатом. Насправді це дуже простий висновок по суті воно зводиться до наступних перетворень A-E, E-A, I-O, O-I.
Тобто. судження «деякі люди талановиті» після перетворення стане думкою «деякі люди не талановиті» (O-I).
Узверненні новий висновок виходить після перестановки суб'єкта та предикату місцями. Тобто. судження «S є P» перетворюється на судження «P є S». На жаль, застосовувати цю операцію для будь-яких тверджень не можна, інакше із твердження «котики — це ссавці» ми отримали б «ссавці — це котики».
Щоб звернення було правильним, необхідно дотримуватися таких правил:
• Загальноствердні судження звертаються до приватноствердних
• Загальнонегативні судження звертаються до загальнонегативних суджень
• Приватностверджувальні судження звертаються до приватноствердних суджень
• Приватнонегативні судження не звертаються зовсім
Це найскладніша операція, яка по суті є поєднанням перетворення та обігу. Насправді це виглядає так: «S є P» перетворюється на «не P не є S». Я спеціально не наводитиму тут обмежень, що накладаються на протиставлення предикату, щоб ви самі могли трохи подумати.
А ми поки що почнемо розглядати силогізми. Силогізми - це найпопулярніший тип суджень, до нього входять три судження (дві посилки та висновок) і три терміни. Меншим терміном (S) є суб'єкт того судження, яке вийшло як висновок. Більший термін (P) – предикат виведення. Середній термін (M) входить в обидві посилки, але відсутній у виведенні. Щоб силогізм був коректним, він повинен підкорятися трьом групам правил: правилам термінів, правилам посилок, правилам фігур.
• У силогізмі має бути рівно 3 терміни.
• Середній термін повинен бути взятий у повному обсязі хоча б у одній із посилок.
• Якщо термін не взятий у повному обсязі в посилці, він не може бути взятий у повному обсязі та у виведенні.
Щоб зрозуміти важливість цих правил, наведу лише один приклад: «Деякіживі істоти отруйні. Котики – це живі істоти. Котики отруйні». Яке із правил порушено, спробуйте визначити самі.
• З двох негативних посилок не випливає жодного висновку.
• Якщо одна посилка є негативною, то і висновок повинен бути негативним.
• З двох приватних посилок не випливає жодного висновку.
Ви пам'ятаєте, що в силогізмі три судження та три терміни? За взаємним розташуванням термінів у судженнях, силогізм можна розділити на 4 класи (фігури):
• У першої фігури перша посилка має бути загальним судженням, а менша ствердним
• У другої фігури велика посилка має бути загальним судженням, а менша посилка та висновок негативними.
• У третьої фігури менша посилка має бути ствердним судженням, а висновок приватним.
• Четверта посилка зустрічається найрідше, у неї аж два правила: 1. якщо загальна посилка є ствердним судженням, то менша посилка має бути загальним судженням; 2. якщо одна з посилок негативна, то велика посилка має бути загальною.
Знову ж таки порушення правил фігур призводить до дуже кумедних логічних помилок: «Усі котики п'ють воду. Я п'ю воду. Я котик».
Насправді силогізм можна ділити не тільки по взаємному розташуванню S, P, M, але і за видами суджень (A, I, O, E), що входять в силогізм. Неважко помітити, що всього можливо 64 різних силогізму, ці силогізму називають модусами. Якщо застосувати до модусів всі ті обмеження та правила, про які ми говорили, то вийде, що логічно вірних модусів всього 19 і по фігурах вони розподілені так:
Якщо знати ці правила, і користуватися ними, то можна по-перше, самому не допускати дурних помилок, а по-друге, помічати ці помилки у ваших опонентівсуперечках.