Тензор Вейля, Virtual Laboratory Wiki, FANDOM powered by Wikia
У диференціальній геометрії,тензор кривизни Вейля, названий на честь Германа Вейля, є частиною тензора кривизни Рімана з нульовим слідом. Іншими словами, це тензор, що задовольняє всім властивостям симетрії тензора Рімана з додатковою умовою, що побудований по ньому тензор Річчі дорівнює нулю.
Тензор Вейля може мати нетривіальну форму лише у просторах з розмірністю щонайменше чотирьох. У двовимірному та тривимірному просторах тензори Вейля тотожно дорівнюють нулю.
Тензор Вейля можна отримати з тензора кривизни, якщо відняти від нього певні комбінації тензора Річчі та скалярної кривизни. Формула для тензора Вейля найлегше записується через тензор Рімана у формі тензора валентності (0,4):
$ W = R - \frac\left(Ric - \fracg\right)\circ g - \fracg\circ g $
деn- розмірність різноманіття,g- метрика,R- тензор Рімана,Ric- тензор Річчі,s- скалярна кривизна, аhOk- так званийтвор Кулкарні-Номидзудвох симетричних тензорів валентності (0,2):
| $ (h \ circ k) (v_1, v_2, v_3, v_4) = $ | $ h (v_1, v_3) k (v_2, v_4) + h (v_2, v_4) k (v_1, v_3) \, $ |
| $<>-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)\, $ |
У компонентах тензор Вейля задається виразом:
де $R_$ - тензор Рімана, $R_$ - тензор Річчі, $R$ - скалярна кривизна і $[]$ означає операцію антисиметрування.
Тензор Вейля має цікаву властивість: він залишається інваріантним при конформних перетвореннях метрики. Тобто, якщо для даної метрикиgввести нову метрику $ \tilde_ = \Omega g_ $ за допомогою деякої функції $ \Omega $ , то (1,3)-валентний тензор Вейля незмінюється: $ \tilde_<>^d = >^d $ . Тому тензор Вейля ще називаютьконформним тензором. З цієї властивості випливає, що для того, щоб різноманіття було конформно евклідовим,необхіднощоб його тензор Вейля дорівнював нулю. Для розмірностей ≥ 4 ця умова виявляється ідостатнім. Для просторів розмірності 3 необхідною та достатньою умовою конформної евклідовості є рівність нулю тензора Коттона.