Теорема лапласу

Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення:

(*)

(Розкладання по елементахi-го рядка);

(**)

(Розкладання по елементахj-го стовпця).

Переконаємося у справедливості теореми Лапласа з прикладу визначника матриці третього порядку. Розкладемо його спочатку за елементами першого рядка

Що збігається з визначенням визначника матриці третього порядку.

Приклад 1.Обчислити визначник третього порядку

використовуючи його розкладання елементами першого рядка.

Рішення.Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів першого рядка:

Тепер за теоремою Лапласа знайдемо визначник, використовуючи формулу (*)

Приклад 2.Обчислити визначник попереднього прикладу, використовуючи його розкладання елементами другого стовпця.

Рішення.Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів другого стовпця:

Тепер за формулою (**) знайдемо визначник матриці

Значення першого та другого прикладів збіглися, що говорить про те, що можна вибирати розкладання по будь-якому рядку або стовпцю.

Приклад 3.Обчислити визначник четвертого порядку трикутної матриці:

Рішення:Виконаємо розкладання по першому стовпцю:

Значення теореми Лапласа у тому, що вона дозволяє звести обчислення визначниківn-го порядку до обчислення визначника меншого порядку, тобто (n-1)-го порядку.

Для кожного числа існує зворотне число, що твір. Для квадратних матриць теж запроваджується аналогічне поняття.

Визначення.Матриця називається зворотною по відношенню до квадратної матриці, якщо примноженні цієї матриці на дану як праворуч, так і зліва виходить одинична матриця:

.

Тільки квадратна матриця може мати зворотну, проте кожна квадратна матриця має зворотну.

Визначення.Матриця єневиродженою (неособливою), якщо, в іншому випадку приматриця називаєтьсявиродженою (особливою).

Теорема(необхідна і достатня умова існування зворотної матриці).Зворотна матриця існує ( і єдина) тоді і лише тоді, коли вихідна матриця є невиродженою (неособливою) і обчислюється за формулою

,

де - приєднана матриця, що складається з додатків алгебри елементів транспонованої матриці, тобто.

Необхідність. Нехай матриця має зворотну, тобто. За якістю 10 визначників маємо:, тобто.

Достатність. Нехай. Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку, звану приєднаною, елементи якої є додатками алгебри елементів матриці, транспонованої до. Тоді елементи добутку матриць визначаються за правилом множення матриць. Тому матриця є діагональною, елементи її головної діагоналі рівні визначнику вихідної матриці. А добуток рівно тієї ж матриці В:.

Єдиністьзворотної матриці. Припустимо, що існують ще матриці і такі, що, де матриця отримана за формулою виконуються рівності. Тоді, помножуючи на ліву перше з них, отримуємо:, звідки, тобто.. Аналогічно, помножуючи другу рівність праворуч, отримуємо. Єдиність доведена.

---