Теорема Вієта

Розділи: Математика

Тип уроку: урок вивчення та первинного закріплення нових знань та способів діяльності.

Мета уроку: організувати діяльність учнів із вивчення т.Виета; щодо застосування отриманих знань; створити: а) умови розвитку умінь учнів самостійно застосовувати отримані знання; б) умови у розвиток інформаційних умінь; для розвитку монологічного та діалогічного мовлення.

Устаткування: мультимедійний проектор, інтерактивна дошка портрет Вієта, картки, таблиці, повідомлення учня, зірочки.

Логіка уроку: мотивація – сприйняття – осмислення та первинне запам'ятовування – первинна перевірка розуміння вивченого матеріалу – аналіз вивченого змісту – рефлексія.

I. Організаційний етап.

Вступне слово вчителя.

На дошці написано вислів: "Якщо ви хочете брати участь у великому житті, то наповнюйте свою голову математикою, поки є можливість. Вона надасть вам потім величезну допомогу у всій вашій роботі". М.І. Калінін.

Ось і сьогодні на нашому уроці кожен з вас має таку можливість.

ІІ. Підготовка до вивчення нового матеріалу.

1. перевірочний диктант.

Запишіть, будь ласка, загальний вигляд квадратного рівняння.
Запишіть загальний вигляд квадратного рівняння.
Неповне квадратне рівняння, якщо = 0; з = 0; В і С дорівнює 0.
Запишіть формулу обчислення дискримінанта.
Запишіть слово дискримінант.
Чому одно X1 і X2.

Диктант перевіряється за допомогою презентації.

У дошки за картками учні вирішують рівняння, використовуючи диференційований підхід у навчанні.

Стільки ж учнів за картками вирішують у зошиті.

Картка 1. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 8х + 15 = 0.

Картка 2. Розв'яжіть рівняння: х 2 + 12х + 20 = 0.

Картка 3. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 5х -6=0.

Картка 4. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 8х – 9 = 0.

Картка 5. Розв'яжіть рівняння: 2х 2 – 9х + 10 = 0.

Картка 6. Розв'яжіть рівняння: 5х 2 + 3х – 8 = 0.

Картка 7. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 7х + 10 = 0.

Картка 8. Розв'яжіть рівняння: х 2 + вх + с = 0.

Знайдіть суму та добуток коренів цього рівняння:

Перевірку завдання здійснюємо за допомогою інтерактивної дошки слайдів. Отримані відповіді учні вписують таблицю.

x1+x2=8 x1*x2=15	Я	x1+x2=9/2 x1x2=10/2*	У
x1+x2=-12 x1*x2=20	бажаю	x1+x2=-3/5 x1x2=-8/5*	вивченні
x1+x2=5 x1*x2=-6	Вам	x1+x2=7 x1*x2=10	важливою
x1+x2=8 x1*x2=-9	успіхів	x1+x2=-в x1*x2=з	теми

Коли учні працюють за картками, у цей час усно попрацюємо зі слабкими учнями.

Вчитель ставить запитання учням:

– До якого виду належить це рівняння? 2х 2 - 9х + 10 = 0.

- Назвіть чому одно а -?; в -?; с -?;

- Визначте, до якого виду рівнянь відноситься дане рівняння х 2 + 5х - 6 = 0;

- Обчисліть його дискримінант;

– У рівнянні x 2 + 2х + 1 виділіть квадрат двочлена;

– З'ясуйте, скільки коренів має дане рівняння 2х 2 + х + 2 = 0.

ІІІ. ОЗНАКОМЛЕННЯ ЗНОВИМ МАТЕРІАЛОМ

– Зверніть увагу на числа В та С та на числа, які є сумою коренів та добутком коренів.

- Хто з вас побачив якусь залежність.

– Виявляється, коріння квадратного рівняння можна обчислити і без обчислення дискримінанта.

Для наведеного квадратного рівняння залежність:

для ненаведеного квадратного рівняння залежність

x1 + x2 = - x1 * x2 =

Я бажаю успіхів у вивченні важливої теми.

На інтерактивній дошці записано лише дві формули:

x1 + x2 = - в x1 * x2 = с

x1 + x2 = - x1 * x2 = -

Цей зв'язок зауважив першим французький математик Франсуа Вієт (портрет вченого прикріплюється до дошки). Як ви вже змогли помітити тема нашого уроку: "Теорема Вієта".

Виконуючи завдання з карток ви самостійно довели теорему Вієта.

Вієт - "батько алгебри" народився в м. Фонтан ле Конт. У працях Вієта алгебра стає загальною наукою про рівняння алгебри, заснованої на символічних позначеннях. Вієт перший позначив літерами як невідомі, а й дані величини, тобто. коефіцієнти відповідних рівнянь Завдяки цьому стало вперше можливим вираження властивостей рівнянь та їх коріння загальними формулами, і самі алгебраїчні вирази перетворилися на об'єкти, над якими можна робити дії. Він розробив одноманітний прийом розв'язування рівнянь 2-го, 3-го, 4-го ступеня та новий метод розв'язання кубічних рівнянь.

Повідомлення учня "Про теорему Вієта"

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 наступним чином: "Якщо В + Д, помножене на мінус А мінус А2 ,одно ВД, то А і В і Д. Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і будь-яка голосна буква, означала у нього невідоме (наше X), голосні ж В, Д - коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає: якщо має місце:

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Вієт встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

Для коефіцієнтів та коренів квадратного рівняння виконуються співвідношення:

x1+x2=- x1*x2 =

Ці співвідношення називають теоремою Вієта на ім'я французького математика Ф.Вієта (1540-1603). Особливо зручна ця теорема для наведеного квадратного рівняння:

Давайте подумки уявімо, що Вієт не тільки дивиться на нас, а й слухає нас.

– Хто з вас намагатиметься сформулювати теорему Вієта.

– Відкрийте підручник на сторінці 121.

Прочитайте формулювання теореми та її доказ.

Учень, виконуючи завдання на картці № 8, самостійно виконав доказ теореми.

IV. Первинне осмислення та заучування теорем.

Як ви встигли помітити, теорему Вієта можна застосовувати до рівняння виду Ах 2 + Вх + С = 0.

Проте сам Вієт визнавав лише позитивне коріння. Лише в 17 столітті завдяки працям Декарта і Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Завдання № 573 а, в, д, ж виконуємо усно, б, г, з, е виконуємо самостійно, з перевіркою біля дошки. (Стор.124 підручника).

№ 576. Знайдіть підбором коріння рівняння.

Завдання виконується самостійно. Коріння записується на інтерактивній дошці.

x1+x2= x1*x2=	5 4
x1+x2= x1*x2=	-12 1
x1+x2= x1*x2=	-8 7
x1+x2= x1*x2=	11 8

Як ви вважаєте, чи можна, знаючи коріння квадратного рівняння, скласти саме рівняння. Таку закономірність помітив Вієт, і існує теорема, обернена до теореми Вієта.

- Хто з вас спробує її сформулювати? Подивіться у підручнику на сторінці 125 та прочитайте цю теорему.

Гра "Хто швидше складе квадратне рівняння".

Умова гри: Який ряд швидше та правильно виконає завдання.

Через слайд пропонується завдання. Від кожного ряду учень вирішує і записує відповідь, що вийшла, тільки одного завдання.

x1+x2= 4 x1*x2= 3	х 2 +4х +3 =0	Дякую
x1+x2=-3 x1*x2=-10	х 2 +3х -10 = 0	за
x1+x2=9/2 x1*x2=10/2	2х 2 - 9х +10 = 0	чудовий
x1+x2= – 3/5 x1*x2=-8/5.	5х 2 +3х - 8 = 0	урок

Добрий старий наш Вієт бачить - вас працьовитіше немає.

V. Підбиття підсумків уроку та оцінка відповідей учнів.

Ось і настав час прощатися з добрим Вієтом і його прекрасною теоремою.

Я думаю, що Франсуа Вієт хотів би побачити найкращих у роботі на уроці.

Візьміть усі свої зірочки до рук і підніміть їх вгору.

У кого з Вас тільки червоні зірочки або більше їх, той отримує оцінку "5" за роботу на уроці; якщо жовті зірочки, то оцінка "4", якщо зелені зірочки, то оцінка "3".

VI. Постановкадомашнього завдання.

Вивчити пункт 23 підручника, вивчити напам'ять формулювання т. Вієта

Нехай довго пам'ятається відомий усім Вієт, який відкрив формулу для рівнянь.

Учень читає вірш.

По праву гідна у віршах бути оспівана Про властивість коренів теорема Вієта. Що краще, скажи, сталості такого. Помножиш ти коріння і дріб вже готовий У чисельнику С, в – знаменнику А, А сума коренів теж дробу дорівнює Хоча з мінусом дріб цей, що за біда У чисельнику В, у знаменнику А.

Література:

Підручник алгебри 8 клас.
А.І. Бородін, А.С. Бугою. Видатні математики. Київ. 1987, стор 108.
Г.І. Глейзер. Історія математики у школі. М., Просвітництво, 1982, стор 24-25.
Енциклопедичний словник молодого математика. М., Просвітництво, 1989, стор.133, 203, 288.
"За межею уроку", с. 50.