Теорія хаосу як зловити метелика Лоренца Літературна газета
Спецпроекти ЛГ / Наукове середовище / Теорії, що змінили світ
Прощайте, Ньютон та Ейнштейн!
Теорія хаосу – це наука про складні нелінійні динамічні системи. Що таке складні – начебто зрозуміло. Динамічні – це які непостійні та неповторні, тобто неперіодичні. А нелінійні – зітхніть глибше – це рекурсивні системи.
Що таке рекурсія? Ось у фільмі «12 друзів Оушена» Джулія Робертс зіграла героїню, яка протягом фільму протягом деякого часу грала Джулію Робертс. Це спрощений приклад, тому що для того, щоб зрозуміти рекурсію, спочатку треба зрозуміти рекурсію (ця фраза рекурсивна!).
Теорія хаосу остаточно добила класичну фізику Ньютона та релятивістську фізику Ейнштейна, про які ми розповіли вище. Можливо, Ньютон і Ейнштейн передчували, що з їхніми творіннями так вчинять, і тому велику частину життя займалися дослідженнями невідомої й досі супертеорії, яка б упорядкувала світову науку раз і назавжди.
Ось як висловив сутність теорії хаосу, яку можна назвати теорією нестабільності нобелівський лауреат Ілля Пригожин, франко-американський вчений, сім'я якого 1917 емігрувала з України.
«Якщо взяти стійкий маятник і розгойдувати його, то подальший перебіг подій можна передбачити однозначно: вантаж повернеться до стану з мінімумом коливань, тобто. до стану спокою. Якщо вантаж знаходиться у верхній точці, то в принципі неможливо передбачити, впаде він вправо або вліво. Напрямок падіння тут істотно залежить від флюктуації. Отже, в одному випадку ситуація в принципі передбачувана, а в іншому – ні, і саме в цьому пункті на повне зростання постає проблема детермінізму. При малих коливаннях маятникдетерміністичний об'єкт, і ми точно знаємо, що має статися. Навпаки, проблеми, пов'язані з маятником, якщо можна так висловитись, перевернутим з ніг на голову, містять уявлення про недетерміністичний об'єкт.
Це різницю між детерміністичними законами природи і законами, які є такими, веде нас до загальнішим проблемам…»
Хаос - це зовсім не синонім безладу. Це такий стан чогось, коли від найменшого зітхання або помаху крилець якоїсь козявки (до козявок ми ще повернемося) змінюється, ламається і руйнується щось величезне і далі перебуває у стані складності, нелінійності та динамічності.
Аж до 1960-х років багато вчених вважали, що динамічна система, що описується простими рівняннями, повинна поводитися відносно просто, хоча вже більше століття було відомо, що це вірно лише в деяких, дуже спеціальних випадках, таких як Сонячна система. Проте до 1980 року математики і дослідники виявили, що хаос всюдисущий.
Приклад хаотичної поведінки із повсякденного життя – рух рідини у міксері. Цей пристрій підпорядковується простим механічним законам: його ніж-змішувач обертається постійною швидкістю, і взаємодію рідини з ножем всередині міксера можна описати простими детерміністичними рівняннями. Однак рух рідини, що виникає при цьому, дуже складно. Її сусідні області розсікаються ножем і поділяються, а віддалені зони можуть зближуватися. Коротше кажучи, рідина перемішується – для цього міксери призначені.
Вираз «теорія хаосу» використовується переважно у популярній літературі. Фахівці ж розглядають цю дисципліну як розділ теорії динамічних систем.
Фрактали та атрактори
Усі розповіді про теоріюхаоси досить хаотичні або щонайменше не надто логічні. Батьком теорії хаосу вважається американський метеоролог Едвард Лоренц. "Ще хлопчиком я любив робити різні штуки з цифрами, крім того, мене зачаровували погодні явища", - згадував Лоренц. Все це допомогло йому зробити найважливіше відкриття. Він створив комп'ютерну модель земної атмосфери, яка показала, що невеликі зміни, що відбуваються в атмосфері або аналогічних моделях, можуть призводити до великих і несподіваних наслідків.
"Показавши, що складні системи з безліччю причинно-наслідкових зв'язків мають поріг передбачуваності, Ед забив останній цвях у труну всесвіту Декарта і зробив те, що багато хто називає третьою науковою революцією XX століття після теорії відносності та квантової фізики", - сказав про Лоренца Керрі Емануель , професор метеорології з Массачусетського технологічного інституту
Лоренц відкрив і перший «дивний атрактор». Просто атрактор – це сфера тяжіння фазових траєкторій. Тобто місце, куди стягуються «вільні частки». Атрактор для простого маятника нижня точка його траєкторії. Похитається і зупиниться. А дивний атрактор – це така точка тяжіння, з якої система потрапляє невідомо куди. І ще потім довго, вибачте за вираз, «ковбаситься». До речі, будь-яка революція – типовий дивний атрактор.
Насправді теорія хаосу мала не менше дюжини батьків. Одних із них визнають за таких, але відсувають у тінь розпіареного метеоролога з його метеликом. А інших, наприклад, нобелівського лауреата Іллю Пригожина взагалі ранжують з іншої галузі. Але, зрештою, про все по порядку.
Вперше проблеми хаотичного руху став досліджувати Анрі Пуанкаре, який започаткував ще й теорію катастроф, близьку родичку теорії хаосу.Його справу продовжив Жак Адамар, який написав статтю під назвою «Більярд Адамара». У ній він описав хаотичну блукання «вільних частинок», скориставшись методами українського математика Ляпунова, який також може вважатися одним із батьків теорії хаосу.
На початку теорія хаосу була ергодичною. Ергодичний підхід дуже наочно описав ще один родоначальник і творець теорії хаосу великий математик Володимир Арнольд: якщо ви хочете зрозуміти, як виросте маленька ялинка, яку ви побачили в лісі, то не обов'язково сидіти і чекати двадцять років. Достатньо подивитися на сусідні дорослі ялинки. Ось і перші дослідники хаосу, не в змозі встежити за метушливими «вільними частинками», спостерігали поведінку загалом усієї нелінійної системи.
Після Другої світової війни до вивчення хаосу підключилися провідні математики світу, першим серед яких стоїть геніальний радянський математик академік Андрій Колмогоров, один із найвидатніших вчених минулого століття.
Колмогоров моделював динаміку перетворення ламінарного перебігу рідини на турбулентне, тобто вихрове. Це було необхідно для аеродинамічних експериментів. Вчений створив математичну модель динаміки вихорів, розглядаючи їх у все меншому і меншому масштабі, доти поки вихори не стали зовсім крихітними, коли в'язкість рідини вже на них не впливала. Колмогоров припустив, що вся рідина складається з однакових маленьких вихрових потоків, тобто однорідних. Така модель дала деякий поступ у дослідженнях, але надалі довелося прийняти модель Пуанкаре, який, спостерігаючи протягом бурхливої річки, встановив, що вихори не всюдисущі, а основна частина потоку спокійна. Таким чином, модель однорідної рідини змінилася моделлю уривчастості. Наступним кроком була теорія радянськогофізика Лева Ландау. Модель Ландау – це нагромадження вихрів, що конкурують між собою. Величезний внесок у науку внесла знаменита теорія КАМ (Колмогорова, Арнольда та Мозера), названа так на честь її творців Андрія Колмогорова, Володимира Арнольда та Юргена Мозера. Ця теорія порушувала питання стійкості динамічних систем, однією з яких, як відомо, є Сонячна система.
Тим не менш, робота над цією тематикою просувалася не дуже легко, аж до появи перших комп'ютерів.
Саме комп'ютерне моделювання допомогло Лоренцу побачити цей ефект метелика. А талановитий вундеркінд Бенуа Мандельбро відкрив за допомогою комп'ютера незвичайні об'єкти – фрактали. Найпростіший фрактал – берегова лінія на карті. Скільки не змінюй масштаб карти, лінія берега завжди буде порізаною та витіюватою, тобто фрактальною. Сніжинки – також фрактали. Якщо узагальнити, то фрактал називається об'єкт, зображення якого постійні в будь-яких масштабах.
Мандельбро написав книгу "Фрактальна геометрія природи", яка стала класичним описом теорії хаосу. Хто хоче подивитися живцем на горезвісну рекурсію, може помилуватися фотографіями Мандельбро. Фрактально влаштовані, до речі, кровоносна та бронхіальна системи людей та тварин.
У другій половині XX століття теорію хаосу стали застосовувати в різних областях - нею намагалися пояснити різні процеси і явища: землетруси, сонячні сплески, коливання в економічних системах, формування ландшафту, лісові пожежі, зсуви, епідемії, біологічну еволюцію і навіть виникнення воєн.