Теорія ймовірності
Індивідуальні завдання з математики
У урні 6 білих куль, 11 – чорних. Одночасно навмання виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть:
1) білими; 2) одного кольору; 3) різних кольорів.
1) Імовірність того, що одна з витягнутих куль буде білою, дорівнює кількості шансів витягнути білу кулю зі всієї суми куль, що знаходяться в урні. Цих шансів рівно стільки скільки білих куль у урні, а сума всіх шансів дорівнює сумі білих та чорних куль.
Імовірність того, що друга з витягнутих куль також буде білим дорівнює
Так як одна з білих куль уже витягнута.
Таким чином, ймовірність того, що обидва витягнуті з урни кулі будуть білими дорівнює добутку цих ймовірностей, оскільки ці можливості незалежні:
2) Імовірність того, що обидві витягнуті кулі будуть одного кольору – це ймовірність того, що обидві кулі будуть або білими, або чорними. Вона дорівнює сумі ймовірностей - витягнути дві білі куліабодві чорні кулі:
3) Імовірність того, що обидві витягнуті кулі будуть різних кольорів – це ймовірність того, що перша куля буде білою, а друга чорнимиаботого, що перша куля буде чорною, а друга – білою. Вона дорівнює сумі відповідних ймовірностей.
У першій урні 6 білих куль, 11 – чорних, у другій – 5 білих та 2 – чорних. З кожної з урн навмання виймають по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть:
1) білими; 2) одного кольору; 3) різних кольорів.
1) Імовірність того, що обидві кулі будуть білими дорівнює добутку ймовірності того, що куля витягнута з першої урни буде білою на ймовірність того, що куля витягнута з другої урни також виявиться білою:
2) Імовірність того, що обидві витягнуті кулі будуть однієїкольори це - ймовірність того, що обидві кулі будуть або білими, або чорними. Вона дорівнює сумі ймовірностей - витягнути дві білі куліабодві чорні кулі:
3) Імовірність того, що куля, витягнута з першої урни буде білою, а куля, витягнута з другої урни - чорною,абонавпаки - перша куля буде чорною, а друга - білою, дорівнює сумі відповідних ймовірностей:
Серед 24 лотерейних квитків – 11 виграшних. Знайти ймовірність того, що принаймні один із 2-х куплених квитків буде виграшним.
Імовірність того, що хоча б один із 24-х куплених квитків виявиться виграшним, дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю того, що жоден із куплених квитків не буде виграшним. А ймовірність того, що жоден з куплених квитків не буде виграшним, дорівнює вірогідності того, що перший з квитків не буде виграшним на ймовірність того, що й другий квиток не буде виграшним.
Звідси, ймовірність того, що хоча б один із 24-х куплених квитків виявиться виграшним:
У ящику 6 деталей першого сорту, 5 – другого та 2 – третього. Навмання беруться дві деталі. Якою є ймовірність того, що вони обидві будуть одного сорту?
Імовірність це – ймовірність того, що обидві деталі будуть або 1-го або 2-го або 3-го сорту і дорівнює сумі відповідних ймовірностей:
Імовірність, що обидві взяті деталі виявляться першого сорту:
Імовірність, що обидві взяті деталі виявляться другого сорту:
Імовірність, що обидві взяті деталі виявляться третього сорту:
Звідси можливість витягнути 2 деталі одного сорту дорівнює:
Протягом години 0 ≤ t ≤ 1 (t – час у годинах) на зупинку прибуває один і лише один автобус.
Автобус може прибути у будь-який момент t, де 0 ≤ t ≤ 1 (де t – час у годинах) або,що те саме, 0 ≤ t ≤ 60 (де t – час у хвилинах).
Пасажир прибуває в момент t = 0 і чекає трохи більше 28 хвилин.
Можливості прибуття автобуса на станцію протягом цього часу або протягом решти 32 хвилин рівноймовірні, тому ймовірність того, що пасажиру, який прибув на цю зупинку в момент часу t = 0, доведеться очікувати автобус не більше 28 хвилин.
Імовірність потрапляння першим стрільцем на ціль дорівнює 0,2 , другим – 0,2 і третім – 0,2. Усі три стрільці одночасно зробили постріл. Знайти ймовірність того, що:
1) тільки один стрілець потрапить у ціль;
2) два стрілки потраплять у мішень;
3) хоча б один потрапить у ціль.
1) Імовірність того, що тільки один стрілець потрапить у мішень дорівнює ймовірності попадання в мішень першим стрільцем і промаху другим і третімабопопадання в мішень другим стрільцем і промаху першим і третімабопопадання в Мета третім стрільцем і промаху першим і другим, отже дорівнює сумі відповідних ймовірностей.
Імовірність того, що перший стрілець потрапить у ціль, а другий і третій - промахнуться дорівнює добутку цих ймовірностей:
Аналогічні ймовірності влучення другим стрільцем у ціль і промаху першим і третім, а також влучення третім і промаху першим і другим:
Звідси шукана ймовірність:
2) Імовірність того, що два стрілки потраплять у мішень дорівнює ймовірності попадання в мішень першим і другим стрільцем і промаху третімабовлучення в мішень першим і третім стрільцем і промаху другимабовлучення в мішень другим і третім стрільцем і промаху першим, отже дорівнює сумі відповідних ймовірностей.
Імовірність того, що перший і другий стрілки потраплять у ціль, а третій - промахнеться дорівнюєдобутку цих ймовірностей:
Аналогічні ймовірності влучення першим і третім стрільцем у ціль і промаху другим, а також влучення другим і третім і промаху першим:
Звідси шукана ймовірність:
3) Імовірність того, що хоча б один стрілець потрапить у ціль дорівнює різниці між одиницею і ймовірністю того, що жоден стрілець не потрапить у ціль. Імовірність того, що жоден стрілець не потрапить у ціль дорівнює добутку цих ймовірностей:
Студент знає 11 питань із 24 питань програми. Кожен екзаменаційний квиток містить три запитання. Знайти ймовірність того, що: 1) студент знає всі три питання; 2) лише два питання; 3) лише одне питання екзаменаційного квитка.
1) Імовірність того, що студент знає всі три питання квитка дорівнює добутку ймовірностей знання кожного з них. Оскільки всі три питання різні і не повторюються, то:
2) Імовірність того, що студент знає тільки два питання квитка дорівнює ймовірності того, що він знає перше і друге питання, а третє – не знає, або, що він знає перше і третє питання, а друге – не знає, або, що він знає друге та третє питання, а перше – не знає. Тобто ця ймовірність дорівнює сумі всіх цих ймовірностей.