Точкова та інтервальна оцінки істинного значення вимірюваної величини
При вимірі, як говорилося раніше, неможливо визначити справжнє значення вимірюваної величини. Можна лише з більшою чи меншою впевненістю оцінити це значення, розглядаючи його умовно параметр нормального розподілу. Оцінка істинного значення здійснюється за кількістю результатів n повторних вимірів величини. Що більше n, то точніше можна оцінити справжнє значення. Виділяють поняття точкової та інтервальної оцінок.
Точкова оцінка(тобто оцінка у вигляді числа) істинного значення величини включає оцінки M[Х] і s. Оцінкою M[Х] є середнє арифметичне значення, його обчислюють за формулою
, (1.13)
де Хi – результат i-го одиничного виміру.
Оцінкою s є середнє відхилення квадратне s, його обчислюють за формулою
. (1.14)
Оцінки, наведені у формулах (1.13) та (1.14), є випадковими величинами. Якщо провести повторний вимір і за його результатами обчислити і s, їх значення відрізнятимуться від колишніх. Повторюючи вимірювання та обчислюючи за їх результатами і s, можна одержати ряд значень і s, які також є випадковими величинами та підпорядковуються нормальному закону розподілу.
. (1.15)
Точкові оцінки використовують в основному в наукових дослідженнях та розробках, коли проводять велику кількість вимірів. Чим менше кількість отриманих результатів вимірювань, тим легше припуститися помилки при оцінці параметрів розподілу. У разі важливо визначити як M[X] і s, а й отримати впевненість, що справжнє значення перебуває у певному довірчому інтервалі. Для цього проводять інтервальну оцінку.
Інтервальна оцінка істинного значення- це довірчийінтервал, у якому із заданою довірчою ймовірністю Р знаходиться справжнє значення вимірюваної величини.
Найчастіше вибирають Р = 0,9, 0,95 та 0,99.
Межі довірчого інтервалу (рис. 1.13) визначають за такою формулою
-e 25…30) довірчу межу випадкової похибки e обчислюють за формулою
, (1.17)
де zр – квантиль нормального розподілу (квантильний множник), s – середнє квадратичне відхилення.
Значення квантильного множника zр визначають за таблицею функції Лапласа за заданої довірчої ймовірності Р (табл. 1.4)
Значення квантил нормального розподілу zр
| Довірча ймовірність | 0,80 | 0,90 | 0,95 | 0,99 | 0,999 |
| zр | 1,28 | 1,65 | 1,96 | 2,58 | 3,29 |
Формулу (1.17) використовують для визначення меж довірчого інтервалу, якщо є досить велика кількість результатів вимірювань (більше 25) або якщо на основі попередніх дослідів з достатньою кількістю вимірювань визначено значення s для даного методу.
Що менше n, то менш надійним є визначення довірчого інтервалу наведеним вище способом.
При невеликій кількості результатів вимірювань (n 30) розподіл Стьюдента перетворюється на нормальне, а zp ® tp.