Умови паралельності та перпендикулярності
прямий і площині у просторі.
Для того, щоб пряма та площина були паралельні, необхідно і достатньо, щоб вектор нормали до площини і напрямний вектор прямої були перпендикулярні. Для цього необхідно, щоб їх скалярний твір дорівнював нулю.
Для того щоб пряма і площина були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб вектор нормали до площини і напрямний вектор прямої були колінеарні. Ця умова виконується, якщо векторний добуток цих векторів дорівнював нулю.
Поверхні другого порядку.
Визначення. Поверхні другого порядку – це поверхні, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого порядку.
Визначення. Циліндричними поверхнями називаються поверхні, утворені лініями, паралельними до будь-якої фіксованої прямої.
Розглянемо поверхні, рівняння яких відсутня складова z, тобто. напрямні паралельні осі Оz. Тип лінії на площині ХOY (ця лінія називається напрямною поверхнею) визначає характер циліндричної поверхні. Розглянемо деякі окремі випадки залежно від рівняння напрямних:
1) – еліптичний циліндр.
 |
2) – гіперболічний циліндр.
 |
2)x 2 = 2py- Параболічний циліндр.
 |
Визначення. Поверхня, що описується деякою лінією, що обертається навколо нерухомої прямоїd, називаєтьсяповерхнею обертання з віссю обертанняd.
Якщо рівняння поверхні у прямокутній системі координатмає вигляд:
F(x 2 + y 2 , z) = 0, ця поверхня – поверхня обертання з віссю обертання Оz.
Аналогічно: F(x 2 + z 2 , y) = 0 - Поверхня обертання з віссю обертання Оу,
F(z 2 + y 2 , x) = 0 - Поверхня обертання з віссю обертання Ох.
Запишемо рівняння поверхонь обертання для деяких окремих випадків:
1) -еліпсоїд обертання
2) -однопорожнинний гіперболоїд обертання
3) -двопорожнинний гіперболоїд обертання
4) -параболоїд обертання
Аналогічно можуть бути записані рівняння для вище розглянутих поверхонь обертання, якщо віссю обертання є осі Ох або Оу.
Проте, перелічені вище поверхні є лише окремими випадками поверхонь другого порядку загального виду, деякі типи яких розглянуті нижче:
Сфера:
 |
Трихосний еліпсоїд:
У перерізі еліпсоїда площинами, паралельними координатним площинам, виходять еліпси з різними осями.
 |
Однопорожнинний гіперболоїд:
 |
Двопорожнинний гіперболоїд:
 |
Еліптичний параболоїд:
 |
Гіперболічний параболоїд:
 |
Конус другого порядку:
 |
Циліндрична та сферична системи координат.
Як і на площині, в просторі положення будь-якої точки може бути визначено трьома координатами різних систем координат, відмінних від декартової прямокутної системи. Циліндрична та сферична системи координат єузагальненням для простору полярної системи координат, яка була детально розглянута вище.
Введемо в просторі точку Про і проміньl, що виходить з точки Про, а також вектор . Через точку можна провести єдину площину, перпендикулярну вектору нормалі .
Для введення відповідності між циліндричною, сферичною та декартовою прямокутною системами координат точку О поєднують з початком декартової прямокутної системи координат, проміньl– з позитивним напрямком осіх, вектор нормалі – з віссюz.
Циліндрична і сферична системи координат використовуються в тих випадках, коли рівняння кривої або поверхні в прямокутній декартовій системі координат виглядають досить складно, і операції з таким рівнянням видаються трудомісткими.
Подання рівнянь у циліндричній та сферичній системі дозволяє значно спростити обчислення, що буде показано далі.
ОМ1 = r; MM1 = h;
Якщо з точки М опустити перпендикуляр ММ1 на площину точка М1 матиме на площині полярні координати (r, q).
Визначення.Циліндричними координатами точки М називаються числа (r, q, h), які визначають положення точки М у просторі.
Визначення.Сферичними координатами точки М називаються числа (r,j,q), де j - кут між r і нормаллю.
Зв'язок циліндричний і декартовий прямокутний
Аналогічно полярній системі координат на площині можна записати співвідношення, що пов'язують між собою різні системи координат у просторі. Для циліндричної та декартової прямокутної систем ці співвідношення мають вигляд:
h = z; x = rcosq; y = rsinq; cosq =; sinq = .