uot;Проектування систем керування\Control System Toolbox
Є.В.Нікульчев. Посібник "Control System Toolbox" Аналіз та синтез САУ методом кореневого годографа
Короткі відомості з теорії
У ряді випадків, що мають практичне значення, модель лінійної системи автоматичного управління (САУ) задається у вигляді структурної схеми, що складається з типових ланок, математичний опис яких встановлено в операторній формі. Зв'язок між входом та виходом системи задається у вигляді передавальної функціїW(s) [4]. В загальному вигляді передатну функціюW(s) можна подати у вигляді:
(1)
деs- комплексна змінна,B(s) - поліном ступеняm;A(s) - поліном ступеняn.
Для фізично реалізованих САУm
ТутТ- постійна часу [с].
Якщо вирази (3), (4), (5) стоять у знаменнику передавальних функцій ланок (у чисельнику 1), то ланки називаються відповідно інтегруючим, аперіодичним, коливальним. Для коливальної ланки z-безрозмірний коефіцієнт загасання (0 z z .
Коефіцієнт подання C обчислюється за формулою
(10)
Для ланок, що використовують вираз (5), відповідна стала часу входить у вираз (10) у квадраті.
При замиканні системи з передатною функцієюWp(s) одиничним зворотним зв'язком передавальна функція замкнутої системиWз(s) набуває вигляду:
, (11)
де знак "+" відповідає негативному зворотному зв'язку; знак "-" відповідає позитивному зворотному зв'язку.
Структурна схема системи із зворотним зв'язком наведено на рис. 2.1.
Мал. 2.1. Структурна схема САУ
З (11) випливає, що нулі передавальної функції замкнутої системи дорівнюють нулям передавальної функції розімкнутої системи.
Для визначення полюсів замкнутої системи необхідно розв'язати рівняння:
ОскількиWp(s) є функцією комплексного змінногоs, то рівняння (12) розпадається на два рівняння:
arg W(s) = ± (2 u +1) p , u =0, 1, 2, … (14а)
для негативного зворотного зв'язку та
argW(s) = ± 2 p , u =0, 1, 2, … (14б)
для позитивного зворотного зв'язку.
Рівняння (14) мають наочний геометричний зміст. Якщо точкаsє полюсом замкнутої системи, то провівши в точкуsвектор з усіх нулівWp(s) (позначимо аргументи цих векторів ) та вектора з усіх полюсівWp(s) (позначимо аргументи цих векторів ), рівняння (14а) можна записати в наступному вигляді:
, u = 0, 1, 2, … (15a)
а рівняння (14б) у вигляді:
, u = 0, 1, 2, … (15б)
Кути q відраховуються від позитивного спрямування дійсної осі. Знак кута "+" відповідає повороту проти годинникової стрілки, знак кута "-" відповідає повороту за годинниковою стрілкою.
Геометричне місце точок на комплексній площині “s”, що задовольняє виразам (15а) та (15б) називається кореневим годографом.
Як випливає з (15), конфігурація кореневого годографа залежить від коефіцієнта посилення K, але кожному конкретному значенню K однозначно відповідають точки на кореневому годографі.
Для визначення цієї відповідності достатньо скористатися рівнянням (13) у такій інтерпретації:
, (16)
де - модуль (довжина) вектора, проведеного зj-нуля в точкуsКГ; – модуль вектора, проведеного зi-полюса в ту саму точкуs.
Для систем невеликого порядкуm,nкр перетин КГ з уявною віссю відбудеться в деякій точціi wкр .Назвемо це значення коефіцієнта посилення критичнимKкр, а величинуwкр критичною кутовою частотою, на якій система стає нестійкою.
Метод КГ дозволяє вибрати коефіцієнт посилення САУ, підібрати розташування полюсів і нулів передавальної функції коригувальних ланок, визначити параметри домінуючих полюсів САУ (найближчих на початок координат площиниs).
Як приклади, наведемо КГ для двох систем автоматичного управління.
На малюнку 2.2а наведено кореневий годограф САУ, передатна функція розімкнутої системи, яка дорівнює:
.
Малюнок 2.2б ілюструє КГ САУ з передавальною функцією розімкнутої системи виду:
.