Урок «Розв’язання задач на побудову перерізів»
Короткий опис документа:
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
Правильно! Це креслення.
Для виготовлення деталей на заводі використовуються точні креслення цих деталей у розрізі.
Розрізи використовуються для показу внутрішньої форми виробу.
Розрізом називається зображення, отримане при уявному розсіченні деталі однією або декількома січеними площинами. У розрізах показується те, що виходить у січній площині.
При вирішенні геометричних завдань, пов'язаних з тетраедром і паралелепіпедом, теж іноді необхідно побудувати розріз фігури. Тільки отримане зображення у геометрії називається перетином.
Давайте розберемося, що називається перетином тетраедра та паралелепіпеда.
Поточна площина α перетинає грані тетраедра за відрізками АЕ, ЄС, АС. Трикутник АЕС, сторонами якого є ці відрізки, називається перетином тетраедра.
Тетраедр має чотири грані, отже його перерізами можуть бути лише трикутники та чотирикутники.
При перетині паралелепіпеда січна площина залишає сліди на його бічних гранях у вигляді відрізків. Відрізки утворюють багатокутник, який називається перетином паралелепіпеда.
Так як у паралелепіпеда шість граней, то в перерізі може вийти фігура трикутник,
на малюнку ви це бачите. Чотирьохкутник
П'ятикутник та шестикутник.
При побудові перерізів легко порушити геометричні факти, теореми. Наприклад, цей переріз паралелепіпеда площиною містить помилку.
Якщо площина перетинає дві паралельні площини, лінії їх перетину паралельні. Отже, відрізок АВ та відрізок RP на кресленні повинні бути зображені паралельно. А ми спостерігаємо, що це не так. Але йвідрізки AR і BP теж паралельні, хоча лежать у паралельних площинах. Значить площина α, повинна перетинати грані АА1D1D та BB1C1C по паралельним прямим.
Або на даному кресленні пряма LM перетинає ребро ВC у точці N. Але це неможливо. Пряма LM належить площині АА1D1D, а пряма НД не лежить у цій площині, отже вони можуть перетинатися, вони схрещуються прямі. Так пряма LM неспроможна перетинати DC, ВВ1 , тоді як з прямий AD вони перетинаються.
Виправимо помилку на кресленні.
Розглянемо приклади побудови різних перерізів.
Даний тетраедр АВСD. На його ребрах відзначені точки K, L, M. Побудувати переріз тетраедра площиною, яка проходить через точки K, L, M.
Зобразимо тетраедр та дані точки.
При побудові перерізів слід пам'ятати один факт, що й дві площини мають спільні точки, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.
Так у нас поточна поверхня проходить через точки M, L, а вони лежать на поверхні CDB, отже ML-лінія перетину площин.
Аналогічно пряма KL є лінією перетину січної площини та грані ADB
Для того, щоб побудувати лінію перетину з гранню АВС потрібні дві точки. Точка М уже маємо.
Для побудови другої точки. Продовжимо до перетину прямі KL та АВ. Зазначимо їхню загальну точку S. Точка S належить січній площині, оскільки їй належить пряма KL і належить грані АВС, оскільки їй належить пряма АВ. Значить січна площина перетинає площину АВС прямою MS.
Побудуємо цю пряму. Зазначимо точку P- точку перетину прямої з ребром АС. Відрізок PM – слід від перерізу грані площиною α.
Ми отримали в результаті дві точки K та Р В грані АDC. Відрізок КР є лінія перетину січної площини таграні. Проведемо цей відрізок.
Чотирьохкутник KLMP-пошуковий переріз.
Розглянемо завдання на побудову перерізу паралелепіпеда.
На ребрах паралелепіпеда дані точки K, L, M. Побудувати перетин паралелепіпеда площиною KLM.
Побудуємо цей паралелепіпед і відзначимо зазначені точки.
Так як точки L і M належать грані АА1D1D і січній площині, означає пряма LM їхня лінія перетину, а відрізок LM слід від перерізу грані АА1D1D січною площиною.
Аналогічно в межі DD1C1C побудуємо пряму MK та виділимо відрізок MK.
У межі А1B1C1D1 є лише одна точка L, для побудови другої точки продовжимо до перетину прямі D1C1 та MK. Зазначимо їхню загальну точку H.
Точка H належить січній площині, тому належить прямий MK. І належить грані A1B1C1D1, оскільки належить прямий D1C1. Проведемо пряму LH. Зазначимо точку T точку перетину пряму з ребром B1C1. Виділимо відрізок LT, це буде слід від перерізу площину.
Так як точки T і К належать січній площині та грані ВВ1С1С, то відрізок ТК буде слідом від перерізу в цій грані.
Виділимо чотирикутник KMLT, що вийшов. Це шуканий перетин.
Розглянуті завдання відносяться до класу завдань на побудову та мають свої етапи розв'язання: аналіз, побудова, доказ. Ми розглянули лише етап побудови, оскільки наша мета – навчитися будувати шуканий перетин.