Урок - Стандартний вид багаточлену

Короткий опис документа:

Члени многочлена є базовими одиницями багатьох структур алгебри. За своїм визначенням, мономи – це або натуральні числові значення, або деякі змінні (групи помножених один на одного змінних).

Оскільки всі члени полінома між собою пов'язані у вигляді алгебраїчного підсумовування, всі вони називаються доданками. Подібними є мономи, мають однакову буквену частину, тобто. що складаються з однакових змінних. При цьому змінні обов'язково повинні бути однаковою мірою і при рівному числовому коефіцієнті. А окремі числові значення в многочленах вважаються прирівняними до подібних доданків власними силами.

Приведення подібних доданків передбачає групування мономів багаточлена так, щоб вийшли окремі частини, що складаються повністю з подібних доданків. Наприклад, розглянемо цей многочлен:

3а 2 + 2ab 2 - 6 - 3с 3 + 6а 2 - 7ab 2 + 7

Подібними доданками, в даному випадку, є:

1. Усі вільні числові значення: -6, +7;
2. Мономи з основою а в квадраті: +3а2, +6а2;
3. Мономи з основою аb у квадраті: 2ab 2 , -7ab 2 ;
4. Мономи з основою в кубі: -3с 3 ;

Остання група складається з одного лише одночлена, який не має подібного собі у всьому поліномі.

Для чого потрібні такі перетворення? Приведення подібних доданків допомагає спростити багаточлен, привести його до елементарного вигляду, що складається з меншої кількості мономів. Це легко зробити, згрупувавши ті члени, між якими відбуваються алгебраїчні дії. Головними операціями тут стає віднімання та додавання - вони ж надають ефектперегрупування та дозволяють вільно переміщати одночлени всередині полінома. Тому цілком за правилами буде перетворити вищезгаданий приклад так:

-6 +7 + 3а 2 +6а 2 + 2ab 2 +(-7ab 2 ) + (-3с 3 ) =

= 9а 2 - 5ab 2 - 3с 3 - 1

Реалізувавши стандартне віднімання та додавання, отримуємо спрощений багаточлен. Якщо початковий варіант налічував 7 одночленів, то поточний має лише 4 члени. Проте чи виникає закономірне питання, що є точним критерієм «простоти» багаточлена? З точки зору алгебраїчних правил, елементарним, а точніше – стандартним багаточленом вважається таким поліном, у якого всі підстави одночленів різні, і не є подібними один до одного. Наш приклад:

9а 2 – 5ab 2 – 3с 3 – 1

Складається з мономів з основами а 2 ab 2 з 3 а також з одного числового значення. Жоден з перерахованих вище елементів не може бути підсумовований або віднятий з іншого. Перед нами – стандартний поліном, що складається із чотирьох членів.

Будь-який многочлен має такий критерій, як ступінь. Ступенем полінома, загалом, називається найбільша ступінь одночлена у цьому многочлене. Варто засвоїти важливу деталь – ступеня багатолітерних (багатозмінних) виразів підсумовуються. Тому загальний ступінь ab 2 дорівнює трьом (а в першому ступені b в квадраті). А багаточлен виду:

9а 2 – 5ab 2 – 3с 3 – 1

має ступінь, що дорівнює трьом, тому що один з одночленів знаходиться в найбільшому кубічному ступені.

Ступінь поліномів прийнято визначати лише для стандартного виду. Якщо многочлен має подібні доданки, його спочатку призводять до спрощеного вигляду, та був обчислюють підсумкову ступінь.

Якщо многочлен складається тільки з одних числових одночленів, то його стандартна форма набуває вигляду єдиногочисла, що є сумою алгебри всіх мономів. Ступінь цього числа, як многочлена, дорівнює нулю. Якщо саме число, будучи стандартним видом полінома, набуває значення «нуль», його ступінь вважається невизначеною, а сам «нульовий» многочлен називається нуль-полиномом.

7а 4 - 2в 2 + 5с 3 + 3

старшим коефіцієнтом є число 7, тому що воно стоїть перед змінною, що має найбільший ступінь (четвертий - і разом з тим весь многочлен має четвертий ступінь). Вільний член, у цьому прикладі, дорівнює 3.

---