Урок-лекція з математики на тему - Побудова графіків, що містять модуль

Розділи: Математика

Мета уроку: узагальнити та систематизувати матеріал цієї теми.

План лекції (написати на дошці)

а) повторити визначення модуля б) геометрична інтерпретація модуля в) графіки найпростіших функцій, що містять модуль г) графіки рівнянь, що містять модулі д) побудувати графіки функцій ( самостійно)

1. Орг. момент

2. Зміст матеріалу

2а. Повторити визначення модуля

Модуль — абсолютна величина числа, що дорівнює відстані від початку відліку до точки на числовій прямій.

Визначення. Модуль числаaабо абсолютна величина числаaдорівнюєa, якщоaбільше або дорівнює нулю і дорівнює-a, якщоaменше нуля:

З визначення слідує, що для будь-якого дійсного числаa,

Геометричноaозначає відстань на координатній прямій від точки, що зображує числоa, до початку відліку.

Якщо на координатній прямий існують дві точкиaі-a, рівновіддалені від нуля, модулі яких рівні.

Якщоa= 0, то координатної прямоїaзображується точкою 0.

2б. Використання геометричної інтерпретації модуля

Геометричний зміст модуля різниці величин - це відстань між ними. Наприклад, геометричний зміст виразуx–a— довжина відрізка координатної осі, що з'єднує точки з абсцисамиаіх. Переклад завдання алгебри на геометричну мову часто дозволяє уникнути громіздких рішень.

Приклад 1. Вирішиморівнянняx – 2 + x – 3=1з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Розмірковуватимемо наступним чином: виходячи з геометричної інтерпретації модуля, ліва частина рівняння являє собою суму відстаней від деякої точки з абсцисоюхдо двох фіксованих точок з абсцисами 2 і 3. Тоді очевидно, що всі крапки з абсцисами з відрізка [2; 3] мають необхідну властивість, а точки, розташовані поза цим відрізком - ні. Звідси відповідь: множиною рішень рівняння є відрізок [2; 3].

Відповідь:х[2; 3]

Приклад 2. Розв'яжемо рівняння x – 1 - x – 2=1 з використанням геометричної інтерпретації модуля.

Різниця відстаней до точок з абсцисами 1 і 2 дорівнює одиниці тільки для точок, розташованих на координатній осі правіше від числа 2. Отже, рішенням даного рівняння буде не відрізок, укладений між точками 1 і 2, а промінь, що виходить з точки 2, і спрямований у позитивному напрямку осі х.

Відповідь:х[2; +)

Узагальненням вищенаведених рівнянь є такі рівносильні переходи:

2в Графіки найпростіших функцій, що містять знак абсолютної величини

Під найпростішими функціями розуміють алгебраїчну суму модулів лінійних виразів.

У тому випадку, коли модулів декілька, зручніше не розкривати модулі, а використовувати таке твердження:

алгебраїчна сума модулівnлінійних виразів являє собою шматково-лінійну функцію, графік якої складається зn+1 прямолінійних відрізків.

Тоді графік може бути побудований поn+2точках,nз яких є корінням внутрішньомодульних виразів, ще одна - довільна точка з абсцисою, меншоюменшого з цих коренів і остання — з абсцисою, більшою з коренів.

1) f(x)=x - 1. Обчислюючи функції у точках 1, 0 та 2, отримуємо графік, що складається з двох відрізків (рис.1);

2) f(x)=x - 1 + x – 2. Обчислюючи значення функції у точках з абсцисами 1, 2, 0 та 3, отримуємо графік, що складається з двох відрізків прямих (рис.2);

3) f(x)=x - 1 + x – 2 + x – 3. Для побудови графіка обчислимо значення функції у точках 1, 2, 3, 0 та 4 (рис.3);

4) f(x)=x - 1 - x – 2. Графік різниці будується аналогічно графіку суми, тобто. за точками 1, 2, 0 та 3 (рис.4).

Мал. 1. Мал. 2. Мал. 3. Мал. 4.

2г Графіки рівнянь, що містять модулі

Коли “стандартні” рівняння прямих, парабол, гіпербол включають знак модуля, їх графіки стають незвичайними і навіть красивими. Щоб навчитися будувати такі графіки, треба мати прийоми побудови “базових” фігур, і навіть твердо знати і усвідомлювати визначення модуля числа.

Покажемо на прикладах деякі прийоми побудови графіків рівнянь із модулями.

Приклад 3. Побудуємо графік рівнянняy=x2-4.

Спочатку побудуємо параболуy=x2-4. Щоб отримати з неї графік рівнянняy=x2 - 4, потрібно кожну точку параболи з негативною ординатою замінити крапкою з тією самою абсцисою, але з протилежною (позитивною) ординатою. Іншими словами, частину параболи, розташовану нижче осіх,потрібно замінити лінією, їй симетричною щодо осіх.

Приклад 4. Побудуємо графік рівнянняy=х 2 -2x.

За визначенням модуля числа, замінимо формулуy=х2 -2xдвома, що задають залежність змінноїyвідxокремо дляx >0таx 0, тоy=х 2 -2x;

Будувати графік будемо так:

• побудуємо параболуy=х2 -2xі обведемо ту її частину, яка відповідає невід'ємним значеннямх, тобто. частину, розташовану правіше осіу;
• у тій же координатній площині побудуємо параболуy=х2+2xі обведемо ту її частину, яка відповідає негативним значеннямх, тобто. частину, розташовану ліворуч від осіу.

Обведені частини парабол разом утворюють графік рівнянняy=х 2 -2x

Тут при побудові графіка зручно використовувати зрушення вздовж осей координат. Діятимемо за таким планом:

1. Побудуємо “основний” графік, тобто. графік рівнянняy=х;
2. Посунемо побудований графік на 2 одиниці вниз; вийде графік рівнянняy=х-2;
3. Частина графіка, розташовану нижче за осіх, замінимо її “дзеркальним відображенням”, тобто. замінимо її лінією, симетричною щодо осіх; вийде графік рівнянняy=х-2;
4. Зрушимо побудований у п.3 графік на 2 одиниці вниз; вийде графік рівнянняy=х-2-2;
5. Частину графіка, розташовану нижче осіх, відобразимо симетрично щодо цієї осі; отримаємо графік рівнянняy=х-2-2.

3. Використовуючи вищевикладені правила, побудувати самостійно графіки інших рівнянь, що містять модулі:

(Дати виконати це завдання вдома)

Побудувати графіки функцій:

1) y = 2x + 4 2)y=x2 - 3 3) y = x 2 - x– 2 4)y= 5)y=x– 2x6)y=x2 +3x7)y=(5–x)(x+1) 8)y=(5–x)(x+1) 9)y=x-3 10)y=x-4-4

4. Підбити підсумок уроку:

Підсумовуючи уроку треба націлити учнів те що, що це перший крок на вирішення рівнянь містять модуль і параметр. Цей урок можна проводити в 9-му класі, 10-му класі та 11-му класі перед темою: розв'язання рівнянь з параметрами.

---