Усічений додекаедр

У кожній з його 60 однакових вершин сходяться дві десятикутні грані та одна трикутна. Тілесний кут при вершині дорівнює 2pi - \ arccos \ left (- \ frac \ right) \ approx 1,23 \ pi.

Усічений додекаедр має 90 ребер рівної довжини. При 30 ребрах (між двома десятикутними гранями) двогранні кути рівні \arccos\left(-\frac\right) \approx 116,57^\circ, як у додекаедрі; при 60 ребрах (між трикутною та восьмикутною гранями) \arccos\left(-\sqrt>\right) \approx 142,62^\circ, як в ікосододекаедрі.

Усічений додекаедр можна отримати зі звичайного додекаедра, «зрізавши» з того 20 правильних трикутних пірамід, або як перетин мають спільний центр додекаедра та ікосаедра.

Зміст

у координатах

Усічений додекаедр можна розташувати в декартовій системі координат так, щоб координати його вершин були всілякими циклічними перестановками наборів чисел

Початок координат (0; 0; 0) буде при цьому центром симетрії багатогранника, а також центром його описаної та напіввписаної сфер.

Метричні характеристики

Якщо усічений додекаедр має ребро довжини a , його площа поверхні та обсяг виражаються як

S = 5 \left(\sqrt3+6\sqrt\right )a^2 \approx 100,9907602a^2, V = \frac \left(99+47\sqrt5\right) a^3 \approx 85,0396646a^ 3.

Радіус описаної сфери (що проходить через усі вершини багатогранника) при цьому дорівнюватиме

R = \frac \sqrt\;a \approx 2,9694490a;

радіус напіввписаної сфери (що стосується всіх ребер в їх серединах) -

\rho = \frac \left(5+3\sqrt5\right) a \approx 2,9270510a.

Вписати в усічений додекаедр сферу - так, щоб вона торкалася всіх граней, - неможливо. Радіус найбільшої сфери, яку можна помістити всередині усіченого додекаедра з ребром a (вонабуде стосуватися тільки всіх десятикутних граней у їхніх центрах), дорівнює

r_ = \frac \sqrt\left(25+11\sqrt5\right)>\;a \approx 2,4898983a.

Відстань від центру багатогранника до центру будь-якої трикутної грані перевищує r_

r_3 = \frac \left(9+5\sqrt5\right) a \approx 2,9127812a.

---