Узагальнені моделі (А-схеми), Іспит з моделювання

Основні співвідношення

Узагальнений підхід базується на понятті агрегативної системи (від англ, aggregate system), що є формальною схемою загального виду, яку називатимемо А-схемою. Цей підхід дозволяє описувати поведінку безперервних та дискретних, детермінованих та стохастичних систем.

Комплексне вирішення проблем, що виникають у процесі створення та машинної реалізації моделі, можливе лише у випадку, якщо моделюючі системи мають у своїй основі єдину формальну математичну схему, тобто А-схему.А-схема має виконувати кілька функцій:

  • бути адекватним математичним описом об'єкта моделювання;
  • дозволяти у спрощеному варіанті (для окремих випадків) проводити аналітичні дослідження.

Представлені вимоги є дещо суперечливими, але в рамках узагальненого підходу на основі А-схем вдається знайти між ними компроміс.

При агрегатному підході спочатку дається формальне визначення об'єкта моделювання - агрегативної системи. При агрегативному описі складний об'єкт (система) розбивається на кінцеве число частин (підсистем), зберігаючи у своїй зв'язку, які забезпечують їх взаємодія. У разі складної організації отриманих підсистем, підсистеми декомпозуються до рівнів, у яких вони можуть бути зручно математично описані. В результаті складна система представляється у вигляді багаторівневої конструкції із взаємозалежних елементів, об'єднаних у підсистеми різних рівнів.

Елементом А-схеми єагрегат. Зв'язок між агрегатами (всередині системи $S$ і із зовнішнім середовищем $E$) здійснюється за допомогою оператора сполучення R. Агрегат може розглядатися як А-схема, тобто можерозбиватись на елементи (агрегати) наступного рівня.

Характеристиками агрегату є:

  • безлічі моментів часу $ T $
  • вхідних сигналів $ X $
  • вихідних сигналів $ Y $ ,
  • станів $Z$ у кожен момент часу $t$.

Нехай перехід агрегату із стану $ z(t_1) $ у стан $ z(t_2) \neq z(t_1) $ відбувається за мінімальний інтервал часу, тобто. має місце стрибок $\delta z$. Переходи зі стану $ z (t_1) $ $ z (t_2) $ визначаються внутрішніми параметрами агрегату $ h (t) \ in H $ вхідними сигналами $ x (t) \ in X $ .

У початковий момент часу $t0$ стану $z$ мають значення, рівні $z^0$, тобто $z^0=z(t_0)$, які задаються законом розподілу $L[z(t_0)]$.

Нехай зміна стану агрегату при вхідному сигналі $x_n$ описується випадковим оператором $V$. Тоді в момент надходження в агрегат $ t_n \ in T $ вхідного сигналу $ x_n $ стан визначається $ z (t_n + 0) = V [t_n, z (t_n), x_n] $.

Якщо на інтервалі часу $(t_n, t_)$ немає надходження сигналів, то для $t\in(t_n,t_)$ стан агрегату визначається випадковим оператором $U$ відповідно до співвідношення $z(t) = U[t, t_n , z (t_n + 0) $.

Сукупність випадкових операторів $V$ та $U$ розглядається як оператор переходів агрегату в нові стани. При цьому процес функціонування агрегату складається з стрибків станів $delta z$ в моменти надходження вхідних сигналів $x$ (оператор $V$) та змін станів між цими моментами $t_n$ і $t_$ (оператор $U$). На оператор $ U $ не накладається жодних обмежень, тому допустимі стрибки станів $ \ delta z $ в моменти часу, що не є моментами надходження вхідних сигналів $ x $ . Надалі моменти стрибків $\delta z $ називатимемо особливими моментами часу $ t_ $ , а стану $ z (t_) $ - особливими станами А-схеми.

Для опису стрибків станів $\delta z$ в особливі моменти часу $t_$ використовується випадковий оператор $W$, який є окремим випадком оператора $U$, тобто. $ z (t_ + 0) = W [t_, z (t_)] $.

У безлічі станів $ Z $ виділяється таке підмножина $ Z ^ $, що якщо $ z (t_) $ досягає $ Z ^ $, то цей стан є моментом видачі вихідного сигналу. Вихідний сигнал можна описати оператором виходів $G$

Агрегатомбудемо розуміти будь-який об'єкт, який описується так $ A = $ .

Структура агрегативної системи

РозглянемоА-схему,структура якої наведена на рис.1

Структура агрегативної системи

ФункціонуванняА-схемипов'язане з переробкою інформації, передача останньої на схемі показана стрілками. Вся інформація, що циркулює в А-схемі, ділиться на зовнішню і внутрішню. Зовнішня інформація надходить від зовнішніх об'єктів, внутрішня інформація виробляється агрегатами самої А-схеми. 5>полюсами А-схеми.Розрізняють вхідні полюси на які надходять x-повідомлення (агрегати At,А2, Аб),та вихідні полюсиА-схеми,вихідна інформація яких єу-повідомленнями (агрегатиА1','А3, А4, А5, А6 ).Агрегати, які не є полюсами, називаютьсявнутрішніми.

Кожному агрегатуА-схеми Аппідводяться вхідні контакти (In) з елементарними вхідними сигналами xi(t), i = 1..In, і вихідні контакти (Jn) із сигналами yj(t), j= 1. Jn.

Введемо ряд припущень:

  1. взаємодія міжА-схемоюта зовнішнім середовищемЕ,а також між окремими агрегатами всередині системиSздійснюється при передачі сигналів;
  2. для опису сигналу деякого кінцевого набору характеристик;
  3. елементарні сигнали миттєво передаються вА-схемінезалежно один від одного елементарними каналами;
  4. до вхідного контакту будь-якого елементаА-схемипідключається лише один елементарний канал, до вихідного контакту — будь-яке кінцеве число елементарних каналів за умови, що до входу однієї й тієї ж елемента А-схеми направляється лише один із згаданих елементарних каналів.

Взаємодія А-схеми із зовнішнім середовищем Е розглядається як обмін сигналами між довкіллям Е та елементами А-схеми, тому зовнішнє середовище є фіктивним елементом системи А0, вхід якого містить I0 вхідних контактів $ X_i^,i=\overline> $ та вихід - J0 вихідних контактів $ Y_j^,j=\overline> $

Таким чином, кожен агрегатАпможна охарактеризувати безліччю вхідних контактівX1 (n), Х2 (n).XIn(n)=i ( n ) >,

Пара множин i (n) & gt;, Уj (n) & gt; представляють математичну модель агрегату,яка описує сполучення його з іншими елементамиА-схемиі зовнішнім середовищемЕ.

З огляду на незалежність передачі сигналів кожному вхідному контакту

відповідає лише один вихідний контакт

  • $ \bigcup_^\left \ \right \> $ – безліч вхідних контактів всіх елементів А-схеми та зовнішнього середовища Е
  • $ \bigcup_^\left \ \right \> $ - безліч вихідних контактів всіхелементів А-схеми та зовнішнього середовища Е, з якими вона пов'язана елементарним каналом;
  • $ k, n = \ overline $

Введемо оператор сполученняR: оператор $ Y_i^=R(X_i^) $ з областю визначення у множині $ \bigcup_^\left \ \right \> $ і областю значень у множині $ \bigcup_^\left \ \right \> $ , зіставляє вхідному контакту $ X_i^n $ вихідний контакт $ Y_i^k $ , що з ним елементарним каналом.

Сукупність множин $ \ left \ \ right \ & gt;, \ left \ & lt; Y_j^\right \> $ і оператор R представляють схему сполучення елементів у систему.

Оператор сполученняRможназнадати у вигляді таблиці, в якій на перетині рядків з номерами елементів (агрегатів)пта стовпців з номерами контактівiрозташовуються пари чиселk, l, що вказують номер елементаkі номер контактуl, з яким з'єднаний контактХi (n). (Таблиця)