Види фракталів - Фрактальна комп’ютерна графіка
Розглянемо кілька поширених видів фракталів.
Це один із фракталів, з якими експериментував Мандельброт, коли розробляв концепції фрактальних розмірностей та ітерацій. Трикутники, сформовані з'єднанням середніх точок більшого трикутника, вирізані з головного трикутника, утворюючи трикутник, з великою кількістю дірочок. У цьому випадку ініціатор - великий трикутник, а шаблон - операція вирізування трикутників, подібних до більшого. Так само можна отримати і тривимірну версію трикутника, використовуючи звичайний тетраедр і вирізуючи невеликі тетраедри. Розмірність такого фракталу ln3/ln2 = 1.584962501.
Рис.3.Грати Серпінського.
Не переплутайте цей фрактал із ґратами Серпінського. Це два абсолютно різні об'єкти. У цьому фракталі, ініціатор та генератор однакові. При кожній ітерації, додається зменшена копія ініціатора до кожного кута генератора тощо. Якщо при створенні цього фракталу зробити нескінченну кількість ітерацій, він би зайняв всю площину, не залишивши жодної дірочки. Тому його фрактальна розмірність ln9/ln3 = 2.0.
Рис.4.Трикутник Серпінського.
Крива Коха - один з найбільш типових детермінованих фракталів. Вона була винайдена в 1904 році шведським математиком на ім'я Хельге фон Кох, який, вивчаючи роботи Георга Контора та Карла Вейєрштрассе, натрапив на опис деяких дивних кривих з незвичайною поведінкою. Ініціатор – пряма лінія. Генератор - рівносторонній трикутник, сторони якого дорівнюють третини довжини більшого відрізка. Ці трикутники додаються до середини кожного сегмента знову і знову. У своєму дослідженні Мандельброт багато експериментував з кривими Коха, і отримав фігури такі як Острови Коха, Хрести Коха, Сніжинки Коха.і навіть тривимірні уявлення кривої Коха, використовуючи тетраедр і додаючи менші за розмірами тетраедри до кожної його межі. Крива Коха має розмірність ln4/ln3 = 1.261859507.
Рис.5.Крива Коха.
Це не безліч Мандельброта, яке можна досить часто бачити. Багато Мандельброта засноване на нелінійних рівняннях і є комплексним фракталом. Це теж варіант кривої Коха, незважаючи на те, що цей об'єкт не схожий на неї. Ініціатор і генератор також відмінні від використаних для створення фракталів, заснованих на принципі кривої Коха, але ідея залишається тією ж. Замість того щоб приєднувати рівносторонні трикутники до відрізка кривої, квадрати приєднуються до квадрата. Завдяки тому, що цей фрактал займає точно половину відведеного простору за кожної ітерації, він має просту фрактальну розмірність 3/2 = 1.5
Рис.6.Фрактал Мандельброта.
Винайдена італійським математиком Джузеппе Пеано, Крива Дракона або Змах Дракона, як він назвав його, дуже схожий на ковбасу Мінковського. Використаний простіший ініціатор, а генератор той самий. Мандельброт назвав цей фрактал Річка Подвійного Дракона. Його фрактальна розмірність приблизно дорівнює 1.5236.
Рис.7.Дракон Джузеппе Пеано.
Безліч Мандельброта і Жюліа, ймовірно, два найбільш поширені серед складних фракталів. Їх можна знайти в багатьох наукових журналах, обкладинках книг, листівках та комп'ютерних зберігачах екрану. Безліч Мандельброта, яке було побудовано Бенуа Мандельбротом, це перша асоціація, що виникає у людей, коли вони чують слово фрактал. Цей фрактал, що нагадує чесальну машину з прикріпленими до неї палаючими деревоподібними та круглими областями, генерується простою формулоюZn+1=Zna+C, де Z та C - комплексні числа та а - позитивне число.
Безліч Мандельброта, яке найчастіше можна побачити - це безліч Мандельброта 2-го ступеня, тобто а=2. Той факт, що безліч Мандельброта не тільки Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показник у формулі якого може бути будь-яким позитивним числом, ввів в оману багатьох. На цій сторінці ви бачите приклад безлічі Мандельброта для різних значень показника а.
Також популярний процес Z = Z * tg (Z + C). Завдяки включенню функції тангенса виходить безліч Мандельброта, оточене областю, що нагадує яблуко. При використанні функції косинуса виходять ефекти повітряних бульбашок. Коротше кажучи, існує безліч способів налаштування безлічі Мандельброта для отримання різних красивих картинок.
Рис.8.Багато Мандельброту.
Модель фрактала Джулії має те саме рівняння, що і модель Мандельброта:Z=Z2+c,тільки тут змінним параметром є неc, az.
Відповідно змінюється вся структура фракталу, оскільки тепер на початкове положення не накладається жодних обмежень. Між моделями Мандельброта та Джулії існує така відмінність: якщо модель Мандельброта є статичною (оскількиzпочаткове завжди дорівнює нулю), то модель Джулії є динамічною моделлю фракталу.
Рис.9.Модель Джулії.