СПОСІБ ВЕРЕЩАГІНА

У 1925 р. А. Н. Верещагін запропонував простий графоаналітичний прийом обчислення інтеграла у випадках, коли епюра обмежена прямими лініями. Фактично це прийом графоаналітичного обчислення певного інтеграла від добутку двох функцій у тому числі одна, наприклад лінійна, т. е. має вигляд

Розглянемо ділянку балки, в межах якого епюра згинальних моментів від одиничного навантаження обмежена однією прямою лінією, а згинальний момент від заданого навантаження змінюється за деяким довільним законом (рис. 6.43). Тоді в межах цієї ділянки

Другий інтеграл є площею епюри на розглянутій ділянці, а перший — статичний момент цієї площі щодо осі у і тому дорівнює добутку площі на координату її центру тяжіння.

Тут - ордината епюри під центром тяжкості площі. Отже,

Твір буде позитивним, коли з розташовані по одну сторону від осі епюри, і негативним, якщо вони знаходяться по різні боки від цієї осі.

Отже, за способом Верещагіна операція інтегрування замінюється перемноженням площі однієї епюри на ординату другої (обов'язково лінійної) епюри, взятої під центром тяжкості площі.

Важливо завжди пам'ятати, що таке «перемноження» епюр можливе лише на ділянці, обмеженій одній прямій епюри, з якої береться ордината

Тому при обчисленні переміщень перерізів балок способом Верещагіна інтеграл Мора по всій довжині балки треба замінити сумою інтегралів по ділянках, в межах яких моменти епюра від одиничного навантаження не має зламів. Тоді

Для успішного застосування способу Верещагіна необхідно мати формули, за якими можуть бути обчислені площі такоординати їхніх центрів важкості. Наведені у табл. 6.1 дані відповідають лише найпростішим випадкам навантаження балки. Однак більш складні епюри згинальних моментів допустимо розбивати на найпростіші постаті, площі і координати яких відомі, а потім знаходити твір для такої складної епюри підсумовуванням творів площ її частин на відповідні їм координати у а- Пояснюється це тим, що розкладання множини епюри на частини рівносильне функції в інтегралі (6.27) у вигляді суми:

У деяких випадках спрощує розрахунки побудова розшарованих епюр, тобто від кожної із зовнішніх сил і пар окремо.

Якщо обидві епюри лінійні, кінцевий результат їх перемноження залежить від того, чи множиться площа першої епюри на ординату другий чи, навпаки, площа другий на ординату першої.

Для практичного обчислення переміщень за способом Верещагіна треба:

1) побудувати епюру згинальних моментів від заданого навантаження (основна епюра);

Таблиця 6.1 (див. скан)

2) зняти з балки задане навантаження (але зберегти опори) і прикласти в переріз, переміщення якого шукається, у напрямку цього переміщення одиничну силу, коли шукається прогин, або одиничну пару, якщо шуканим є кут повороту;

3) побудувати епюру згинальних моментів від одиничного навантаження (поодинока епюра);

4) розбити епюри від заданих навантажень на окремі площі; та обчислити ординати одиничної епюри під центрами тяжкості цих площ;

5) скласти твір та підсумувати їх.

приклад. Визначити прогин кінця консолі (рис. 6.44) та кут повороту перерізу В.

Рішення. Побудуємо епюри згинальних моментів від заданих навантажень, а потім від одиничної сили, прикладеної до кінця консолі, і відодиничної пари, прикладеної в перерізі (див. рис. 6.44).

Для визначення прогину точки А треба перемножити епюри від заданого навантаження та одиничної сили.

Розіб'ємо основну епюру на параболічний трикутник, прямокутник і трикутник (трапецію розбиваємо на прямокутник і трикутник тому, що заздалегідь невідомо, де знаходиться її центр тяжіння) і обчислимо, а потім по епюрі від одиничної сили знайдемо координати. В результаті отримаємо

Визначаючи угод Довороту перерізу, перемножуємо епюри від заданих навантажень і одиничного моменту тільки на правому ділянці (на лівому цей твір дорівнює нулю). Обидві епюри на цій ділянці лінійні, і тому байдуже, з якої з них брати площу. Якщо площу взяти з епюри від заданих навантажень, то

Якщо ж площу взяти з одиничної епюри, то

Результати перемноження, як і слід очікувати, однакові. Знак мінус показує, що перетин повертається в напрямку, протилежному напрямку одиничного моменту.

приклад. Визначити прогин середини прольоту балки (рис. 6.45).

Рішення. Перемножити епюри від заданих навантажень та одиничної сили відразу по всій довжині балки не можна, оскільки одинична епюра обмежена двома прямими. Тому перемножимо ешори на половині балки та результат подвоїмо. Використовуючи дані табл. 6.1, отримуємо

Неважко перевірити, що права частина останнього виразу має розмірність довжини.

приклад. Визначити прогин у точці балки, показаної на рис. 6.46.

Рішення. Будуємо епюри згинальних моментів від заданого навантаження і одиничної сили, прикладеної в точці В. Щоб перемножити ці ешори, треба розбити балку на три ділянки, так як одинична епюра обмежена трьома різними прямими.

ОпераціяПеремноження епюр на другому та третьому ділянках здійснюється просто. Труднощі виникають при обчисленні площі та координат центру

тяжкості основної епюри першому ділянці. У таких випадках набагато спрощує вирішення задачі побудова розшарованих епюр. При цьому зручно один із перерізів прийняти умовно за нерухоме і будувати епюри від кожного з навантажень, наближаючись праворуч і ліворуч до цього перерізу. Доцільно за нерухоме приймати перетин у місці перелому на епюрі поодиноких навантажень.

Розшарована епюра, в якій за нерухоме прийнято перетин, представлена ​​на рис. 6.46. Обчисливши площі складових частин розшарованої епюри та відповідні їм ординати одиничної епюри, отримуємо

---