Види неявних визначень
Згадаймо сказане вище про те, що неявні визначення відрізняються від явних тим, що в них не можна виділити як самостійні частини обумовлений і визначальний вирази і, отже, не можна уявити у вигляді ра-260
венства або еквівалентності, ліва частина яких представляла б вираз, що визначається. Однак, як ми вже говорили, є вид неявних визначень — контекстуальні визначення, які мають вигляд рівності чи еквівалентності. Проте ліва частина цієї рівності є не визначуваною, а деякий контекст, зокрема, можлива пропозиція, що включає визначальну як деяку свою правильну частину. Таким - неявним - чином визначаються, наприклад, вирази, утворені за допомогою певної та невизначеної дескрипцій- див. § 6), а саме: безпосередньо визначаються при цьому пропозиції видуВ(?хА(х))іВ Визначення їх ми вже мали. Нагадаємо їх тут.
( 1) В(?хА =Зх(А(х)& пекло &Vy z>у = х)).(«Існує предметх(з областіD),який має властивість^ іВі до того ж він є єдиним, що володіє властивістю Л».)
Пропозиція «Те небесне тіло, яке є природним супутником Землі, є остигле тіло» істинно, якщо і тільки якщо існує небесне тіло, яке є природним супутником Землі і є остиглим, і для будь-якого тіла, яке є природним супутником Землі, вірно, що воно збігається зі згаданим (*)».
Отже, форма визначення є еквівалентність. Однак читач повинен побачити, що ліва її частина -В[?хА[х>)іВ - містить обумовлене (відповідно:7хА ігхА (х))як свою правильну - не збігається з цілим - частина. У правій же -визначальною – частини цей вираз вже не міститься.
Визначення такого — неявного — виду можна розглядати як явне визначення всього виразу, що стоїть у лівій частині, у разі — пропозиції. Точніше, воно є схемою визначень будь-яких пропозицій зазначеної структури.
Таким чином, те саме визначення може бути явним щодо одного виразу і неявним контекстуальним щодо терміна «необхідне».
У наведених раніше таблицях, що виражають умови істинності висловлювань, утворених за допомогою операцій «&»; та неявні контекстуальні визначення зазначених операцій як функторів. Наприклад, табличне визначення висловлювання «р & д» у розгорнутій формі може бути подане так: висловлювання вигляду р &qеквівалентно (за визначенням) такому висловлюванню, яке має істинні значення, зазначені в таблиці (див. § 10). Але тут ми маємо неявне (контекстуальне визначення самого функтора «&», як операції, з якої утворюються висловлювання даного виду).
Однак це, мабуть, не так. Чи визначає значення (і відповідно предметне значення) слова «дядько» наступний відомий пушкінський контекст?
Мій дядько найчесніших правил, Коли не жартома занедужав, Він поважати себе змусив І краще вигадати не міг.
У сучасній логіці з'ясовано, що далеко не всяка сукупність речень, в яких міститься певний термін, є неявним визначенням. Встановлено точний критерій, у яких випадках має місце неявна визначальність, наприклад, деякого предикатораРбезліччю пропозицій, що містять його71.
1СмирновВ.А.Логічні методи аналізу наукового знання. - М., 1987. - Гол.2.3.
Використовуючи цей критерій, можна, звісно, говорити, що у відповідних — позитивних випадках ми маємо неявне визначення терміна. Однак тут йдеться про визначення не як про особливу логічну операцію, а як про деяку характеристику контексту, його ставлення до терміну.
Іншим важливим видом неявних визначень є індуктивні визначення («визначення індукції»). З визначенням цього виду ми вже мали справу щодо формул ЯЛВ і ЯЛП, термів в ЯЛП (див. § 10 і § 11). Ця форма неявного визначення застосовується визначення загальних імен і є в такий спосіб специфічним способом запровадження понять у науку. Вона застосовується у тих випадках, коли клас-обсяг визначального поняття може бути розділений на дві частини: 1) сукупність деяких елементарних об'єктів цього класу і 2) сукупність об'єктів, які можуть бути побудовані з інших об'єктів цього ж класу, а в кінцевому рахунку - з елементарних за допомогою деяких операцій.
Рекомендуємо читачеві звернутися до згаданих щойно визначень і проаналізувати їх з погляду цього описи. Додатково до цих визначень зазначимо відоме визначення терміна «натуральне число».
Елементарним об'єктом класу натуральних чисел є 0 (нуль). А операцією, за допомогою якої будь-яке натуральне число (крім 0) може бути утворене з іншого, і в кінцевому рахунку з 0, є додавання одиниці, або, як інакше кажуть ще, операція утворення об'єму, «наступного за л» (для позначення об'єкта, «наступного за л» прийнято позначення «л 1»). Усі визначення терміна «натуральне число» виглядає так.
0 є натуральне число.
Якщоп -натуральне число, то л (наступне за л) -натуральне число.
Ніщо інше, крім зазначеного у пунктах 1 та 2, не є натуральним числом.
Слід звернути увагу на специфіку індуктивних визначень, яка полягає в тому, що вираз використовується тут у визначальній частині (див. визначення формули, терма - §11). Це створює видимість извест-
ної помилки в визначеннях «порочного кола», але «коло» фактично «розривається» завдяки саме розшарування класу предметів на деякі рівні (відомо, що до відкриття логікою індуктивних визначень у науці виникали у певних випадках труднощі, пов'язані саме з невмінням вийти з уявного «порочного кола», що, очевидно, неминуче виникає в деяких випадках).
Серед неявних визначень можна виділити види генетичних і операційних. Так, індуктивне визначення, по суті, є генетичним, оскільки основна його частина полягає у вказівці способу побудови об'єктів з інших та, зрештою, з елементарних. Таким чином, є види явних операційних та генетичних, а також і неявних визначень цього типу.
Відомий, окрім вище розглянутих, ще один вид неявних визначень — рекурсивні визначення. У цих визначеннях задаються операції обчислення значень предметних функторів, тобто обчислення можливих значень форм імен виду:«х+у», «х•у»тощо. буд. Широке застосування цей вид визначення знаходить у математиці та математичної логіці.
На закінчення даного параграфу звертаємо увагу читача на те, що в підручниках традиційної логіки серед явних визначень як особливий вид виділяють зазвичай так званівизначення «через рід та видову відмінність». При цьому мається на увазі, що в визначальній частині цих визначень вказується певний клас предметів (рід) і видова відмінність, за допомогою якого в цьому класі виділяється клас предметів. Наприклад, "Ромб є плоский, замкнутий чотирикутник (рід), всі сторони якого рівні (видова відмінність)".
Однак ми бачили вже, що всяке поняття є результатом узагальнення предметів деякого класу і уявного виділення його в межах ширшого класу. Тобто поняття завжди має родовидову структуру. Отже, визначення «через рід і видове відмінність» — це визначення загального чи одиничного імені, з якого вводиться деяке поняття. Це означає, що, зокрема, індуктивне визначення є також визначення через рід та видову відмінність. Понад те, вказівка роду необхідне у багатьох інших видах определений. На-
Наприклад, щодо виразу типуА(х)(одномісного предиката) необхідне вказівку області значеньх.Аналогічно йде і щодо предметних функторов. Отже, визначення «через рід та видову відмінність» не є особливим видом визначення.