Відношення впорядкованості
Бінарне відношення, задане на множиніМі що має властивості рефлексивності, транзитивності та антисиметричності, називається ставленнямчасткової впорядкованостіабо простоупорядкованістю. МножинаМу разі називається упорядкованим. Упорядкованість називаєтьсясуворою, якщо відношення не рефлексивне. Упорядкованість називаєтьсялінійною, якщо для будь-яких елементіва,bÎМ=> або (a,b)ÎР, або (b,a)ÎР. МножинаМу цьому випадку називаєтьсялінійно-упорядкованимаболанцюгом.
Для позначення відношення упорядкованості зазвичай використовують знаки £ (або ). При цьомуa£bрівнозначноb³a, і записaа≤х(х≤а). БезлічАу разі називаєтьсяобмеженим зверху (знизу). Природно, що А може мати не одну верхню (нижню) межу, а безліч верхніх (нижніх) кордонів. Тоді найменша з верхніх межАназиваєтьсяверхньою граннюмножиниАі позначається sup(А) –супремум. Аналогічно, найбільша з нижніх меж множиниАназиваєтьсянижньою гранню Аі позначається inf(А) –інфімум. (Інакше кажучи, верхня граньАє нижня межа множини всіх верхніх кордонівА, а нижня граньАє верхня межа множини всіх нижніх кордонівА.)
Лінійно-упорядковане безліч називаєтьсяцілком упорядкованим, якщо у кожного його непустого і обмеженого знизу підмножини є нижня грань. Іншими словами, впорядкована множина є цілком упорядкованою, якщо будь-яка її непуста підмножина має перший елемент.
Для графічного зображення кінцевих частково чи лінійновпорядкованих множин служить діаграма Хассе.
НехайМ– впорядкована множина та елементиx,yÎM, причомуx<a,b,c> = < Æ, <a>, <b>, <c>, <a,b>, <a,c>, <b,c>, <a,b,c>> упорядковано ставленням включення - "I". Тоді його діаграма виглядає як малюнку 8.
3)M= < 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 Упорядковано ставленнямP=< (x,y) :yділиться наx>. Його діаграма Хассе зображена малюнку 9 і збігається з попередньої діаграмою з точністю до позначення елементів. Між елементами цих множин можна встановити бієктивне відображення, що зберігає наявну впорядкованість елементів. Кажуть, що такі множини ізоморфні (подібні) між собою щодо заданих на них відносин порядку.