Вирахування Основна теорема про відрахування Застосування відрахувань до обчислення інтегралів - Розв’язання задач
] у лоранівському розкладанні цієї функції у точці z0. Звідси, зокрема, випливає, що відрахування в особливій точці, що усувається, дорівнює нулю. Вкажемо деякі формули для обчислення відрахування у полюсі функції /(г). 1. zq - полюс першого порядку: 00 Помножимо обидві частини цієї рівності на z - zo і, переходячи до межі при z zo, отримаємо, що Якщо функцію f(z) можна подати у вигляді дробу де і ф(г) - аналітичні функції , Причому простий полюс, то з формули (3) випливає, що Приклад 1. Нехай Особливі точки функції , ЯВЛЯЮТЬСЯ простими гюлюсами. Тому 2. zo — полюс порядку т: Для усунення негативних ступенів z - z0 помножимо обидві частини цієї рівності на (z-Zo)m, Відрахування Основна теорема про відрахування інтегралів Інтеграли від раціональних функцій Лемма Жордана Обчислення інтегралів Френеля Продиференціюємо отримане співвідношення m - 1 раз і, переходячи до межі при отримаємо, що Приклад 2. Нехай 4 Особливими точками цієї функції є точки г = ±i. Це полюси другого порядку. Обчислимо, наприклад, res/(i). Маємо Теорема 21i Нехай функція f(z) аналітична усюди в області D за винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок 7коли для будь-якої замкнутої області G, що лежить в D і містить точки zn всередині, справедливо рівність Теорема випливає з теореми Коші для багатозв'язкової області. Побудуємо кола настільки малогорадіуса г, що обмежені ними кола містяться в ділянці G і не перетинаються один з одним (рис. 29). Позначимо через G* область, яка виходить із області G шляхом видалення кіл Uі . U„. Функція f(z) аналітична в області G * і безперервна в її замиканні G7. Тому за теоремою Коші для багатозв'язкової області маємо З цієї формули, користуючись визначенням відрахування отримуємо необхідну рівність (5). 6.1. Відрахування функції щодо нескінченно віддаленої точки Кажуть, що функція f(z) є аналітичною в нескінченно віддаленій точці z = оо, якщо функція аналітична в точці С = 0. Це слід розуміти так: функцію g(0= f(f) можна довизначити до аналітичної, поклавши Наприклад, функція аналітична в точці z = оо, оскільки функція аналітична в точці С = 0. Нехай функція /(г) аналітична в околицях нескінченно віддаленої точки (крім самої точки z = оо) Точка z = оо називається ізольованою особливою точкою функції /(г), якщо в деякій околиці цієї точки немає інших особливих точок функції f(z) Функція має в нескінченності неізольовану особливість: полюси z = к-до цієї функції накопичуються в нескінченності, якщо до оо.Кажуть, що z — оо є усувною особливою тонкою, полюсом або істотно особливою точкою функції f(z) в залежності від того, кінцевий, нескінченний або зовсім не існує lim f( z) Критерії типу нескінченно віддаленої точки, пов'язані з розкладанням Лорана, змінюються порівняно з критеріями для кінцевих особливих точок Теорема 22. Якщо z — оо є усувною особливою точкою функції /(z), то лоранівське розкладання f(z) в околиці цієї точки не містить позитивних ступенів z;z. При цьому лоранівським розкладанням функції /(z) в околиці нескінченно віддаленої точки називатимемо розкладання в ряд Лорана, що сходить усюди поза коло досить великого радіусу R з центром в точці z - 0 (крім, можливо, самої точки z - оо). Нехай функція f(z) — аналітична в деякій околиці точки z = оо (крім, можливо, самої цієї точки). Вирахуванням функції /(z) в нескінченності називають величину паї 7 — досить велике коло \z\ = р, що проходить за годинниковою стрілкою (так, що околиця точки z — оо залишається ліворуч, як і у випадку кінцевої точки г = го). І з цього визначення випливає, що відрахування функції в нескінченності дорівнює коефіцієнту при z
! у лоранівському розкладанні /(z) в околиці точки z - оо, взятому з протилежним знаком: Приклад 3. Для функції f(z) = маємо f(z) = 1 + j. Цей вираз можна розглядати як її лоранівське розкладання на околиці +окуляри z = оо. Легко бачити, що так що точка z = оо є усувною особливою точкою, і ми вважаємо, як звичайно, /(оо) = 1. Тут , отже, З цього прикладу випливає, що відрахування аналітичної функції щодо нескінченно віддаленої усунутий особливої точки (у на відміну від кінцевої ліквідованої особливої точки) може виявитися відмінним від нуля. Відомі тейлорівські розкладання функцій е1, cosz, sinz, chz, shz можна розглядати також як лоранівські розкладання в околиці точки z - оо. Оскільки всі ці розкладання містять безліч позитивних ступенів z, то перераховані функції мають суттєву особливість. Теорема 23. Якщо функція f(z) має у розширеній комплексній площині кінцеве число особливих точок, то сума всіх її відрахувань, включаючи і відрахування в нескінченності, дорівнює нулю. Отже, якщо кінцеві особливі точки функції f 0 - дійсне число. Приобчисленні таких інтегралів часто буває корисною наступна лема. Лемма Жордана. Нехай функція f(z) аналітична у верхній напівплощині винятком кінцевого числа ізольованих особливих точок, і при прагне до нуля рівномірно щодо arg z. Тоді для будь-якого позитивного а де 7л - верхня півкола Умова рівномірного прагнення / (г) до нуля означає, що на півкола 7R Оцінимо досліджуваний інтефал. Помічаючи, що на 7Л В силу відомої нерівності (див. рис. 31) справедливого при (для доказу досить помітити, що і, отже, функція ^ зменшується на півінтервалі.). функцію Приклад 7. Обчислити інтеграл Неважко бачити, що якщо г = х, то Jmh(z) збігається з підінтегральною функцією Розглянемо контур, вказаний на рис.32. леме Жордана За основною теоремою про відрахування для будь-якого маємо Переходячи до межі в рівності (16) і враховуючи співвідношення (15), отримаємо, що Розділяючи зліва і справа речові та уявні частини, матимемо В силу того, що підінтегральна функція f(x) — парна, остаточно одержимо У прикладі, що розглядається, функція f(z) не має особливих точок на дійсної осі, проте невелика зміна описаного методу дозволяє застосовувати його і в тому випадку, коли функція f(z) має на дійсної осі особливі точки (прості полюси). Покажемо, як це робиться. Приклад 8. Обчислити інтеграл 4 функція має такі властивості: при збігається з підінтегральною функцією; 2) має особливість на дійсній осі - простий полюс у точці г = 0. Розглянемо у верхній напівплощині Im z ^ 0 замкнутий контур Г, що складається з відрізків дійсної осі [-Я, -г), (г, R) і дугпівкола (рис. 33). Усередині цього контуру є лише один полюс функції h(z) — точка z = Ы. Відповідно до основної теореми про відрахування, Перетворимо спочатку суму інтегралів за відрізками (-Я, -г і г, Я) дійсної осі. Замінюючи їх на
х у першому доданку правої частини рівності (18) і поєднуючи його з третім доданком, отримаємо Звернемося до другого доданку у формулі (18). Оскільки де lim g(z) = 0. то підінтегральна функція h(z) представима у такому вигляді: Тоді вважаючи . отримаємо, що Четверте доданок у рівності (18) при Я —» оо прагне нулю відповідно до леми Жордана, бо функція ^ прагне нулю при г оо. Таким чином, при рівність (18) набуває вигляду 6.3. Обчислення інтегралів Френеля Інтеграли Френеля: Розглянемо допоміжну функцію /(г) = с" і контур Г, вказаний на рис. Функція 0(0 = задовольняє умовам леми Жордана, і, отже, Переходячи у формулі (20) до межі при г -* оо, отримаємо, що На відрізку ВО: Звідси звідки Вправи Знайдіть дійсну та уявну частини функдаї: Знайдіть образи дійсної та уявної осей при відображенні: Доведіть ті, що функція безперервна на всій комплексній площині: Користуючись умовами Коші—Рімана, з'ясуйте, чи є функція аналітичною хоча б в одній точці чи ні: Відновіть аналітичну в околиці точки 20 функцію /(г) за відомою дійсною і (або за відомою уявною частиною v(x, у)) і значенням f(z0): Покажіть, що такі функції є гармонічними: Чи може дана функція бути дійсною або уявною частиною аналітичної функції Знайдіть дійсну та уявну частини функції: Знайдіть модуль та головне значення аргументу функції у зазначеній точці zq:Знайдіть логарифми наступних чисел: Розв'яжіть рівняння: 38. Обчисліть інтеграл /— лінія, що з'єднує точки z\ = 0 третина до прямої, б) дуга параболи ламана 39. Обчисліть інтеграл — півколо Обчисліть інтеграли: 43. окру*« ості z = 1 (вибирається Відрахування Основна теорема про відрахування Застосування відрахувань до обчислення інтегралів Відрахування функції щодо нескінченно віддаленої точки Додаток відрахувань до обчислення певних інтегралів Інтеграли від раціональних функцій Лемма Жордана Обчислення інтегралів Френеля гілок 4 Обчисліть інтеграл / ^ dz, де 7 — відрізок прямий, що йде з точки zj = 1 у точку Обчисліть інтеграли: Знайдіть радіус збіжності ряду: Розкажіть функцію в ряд Тейлора і знайдіть радіус збіжності отриманого ряду: поступам z + I. 55. 56.—-— поступам z + 2. 57.—^— поступам z. 58. sh2 z поступам z. Знайдіть нулі функції та визначте їх порядки: z Визначте область збіжності ряду: Розкладіть до ряду Лорана в околиці точки г = 0: Роз'яжіть у ряд Лорана у вузаному кільці: Знайдіть особливі точки та визначте їх характер: Знайдіть відрахування функції в особливих точках: Обчисліть інтеграли: Визначте характер нескінченно віддаленої точки: Обчисліть інтеграли: Відповіді z переходіть вісь, при зміні z від -о +оо і змінюється від до -оо і від +оо до +1 (точка +1 виключається), вісь у переходить у коло Вісь х переходить у вісь і так само, як і в упр-і 5, вісь у переходить у пряму u
1, що пробігається від точми 1 до 1 + too і від 1 - »оо до точки 1 (сама точка 1 виключається