Властивості рівнобедреного трикутника
Трикутник, у якого дві сторони рівні між собою, називається рівнобедреним. Ці його сторони називають бічними, а третю сторону називають основою. У цій статті ми розповімо Вам про те, які властивості рівнобедреного трикутника бувають.
Кути біля основи рівнобедреного трикутника рівні між собою
Допустимо, ми маємо рівнобедрений трикутник ABC, основа якого AB. Давайте розглянемо трикутник BAC. Ці трикутники за першою ознакою рівні між собою. Так і є, адже BC = AC, AC = BC, кут ACB = куту ACB. Звідси випливає, що кут BAC = куту ABC, адже це відповідні кути наших рівних між собою трикутників. Ось Вам і властивість кутів рівнобедреного трикутника.
Медіана в рівнобедреному трикутнику, яку провели до його основи, є також висотою та бісектрисою
Допустимо, ми маємо рівнобедрений трикутник ABC, основа якого AB, а CD - це медіана, яку ми провели до його основи. У трикутниках ACD та BCD кут CAD = куті CBD, як відповідні кути при основі рівнобедреного трикутника (Теореми 1). А сторона AC = стороні BC (за визначенням рівнобедреного трикутника). Сторона AD = стороні BD, адже точка D поділяє відрізок AB на рівні частини. Звідси виходить, що трикутник ACD = трикутник BCD.
З рівності цих трикутників маємо рівність відповідних кутів. Тобто кут ACD = кут BCD і кут ADC = кут BDC. З рівності 1 виходить, що CD - це бісектриса. А кут ADC і кут BDC - суміжні кути, і з 2 рівності виходить, що вони обидва прямі. Виходить, що CD – це висота трикутника. Це і є властивість медіани рівнобедреного трикутника.
А тепер трохи про ознаки рівнобедреного трикутника.
Якщо у трикутнику два кутирівні між собою, то такий трикутник рівнобедрений
Допустимо, ми маємо трикутник ABC, у якому кут CAB = куті CBA. Трикутник ABC = трикутнику BAC за другою ознакою рівності між трикутниками. Так і є, адже AB = BA - кут CBA = куті CAB, кут CAB = куті CBA. З такої рівності трикутників маємо рівність відповідних сторін трикутника - AC = BC. Тоді виходить, що трикутник ABC рівнобедрений.
Якщо в будь-якому трикутнику його медіана є також його висотою, то такий трикутник рівнобедрений
У трикутнику ABC ми проведемо медіану CD. Вона також буде висотою. Прямокутний трикутник ACD = прямокутний трикутник BCD, оскільки катет CD загальний їм, а катет AD = катету BD. З цього випливає, що їхні гіпотенузи рівні між собою як відповідні частини рівних трикутників. Це означає, що AB = BC.
Якщо три сторони трикутника дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то ці трикутники дорівнюють
Припустимо, маємо трикутник ABC і трикутник A1B1C1 такі, у яких сторони AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Розглянемо доказ цієї теореми протилежного.
Припустимо, що це трикутники не рівні між собою. Звідси маємо, що кут BAC не дорівнює куту B1A1C1, кут ABC не дорівнює куту A1B1C1, кут ACB не дорівнює куту A1C1B1 одночасно. В іншому випадку, ці трикутники були б рівні за вищерозглянутою ознакою.
Припустимо, що трикутник A1B1C2 = трикутник ABC. У трикутника вершина C2 лежить з вершиною C1 щодо прямої A1B1 в одній напівплощині. Ми припустили, що вершини C2 та C1 не збігаються. Припустимо, що точка D – це середина відрізка C1C2. Так ми маємо рівнобедрені трикутники B1C1C2 та A1C1C2, які мають загальну основу C1C2. Виходить, що їхмедіани B1D та A1D - це також і їх висоти. А це означає, що пряма B1D та пряма A1D перпендикулярні до прямої C1C2.
B1D та A1D мають різні точки B1 та A1, і відповідно, не можуть збігатися. Але через точку D прямий C1C2 ми можемо провести всього одну перпендикулярну їй пряму. У нас вийшло протиріччя.
Тепер Ви знаєте, які бувають властивості рівнобедреного трикутника!