Залежність критичної сили від умов закріплення стрижня

Формула Ейлера була отримана для основного випадку шарнірного спирання стрижня по кінцях (рис.8.3). Насправді трапляються й інші випадки закріплення стрижня. При цьому можна отримати формулу визначення критичної сили для кожного з цих випадків, вирішуючи, як у попередньому параграфі, диференціальне рівняння вигнутої осі балки з відповідними граничними умовами. Але можна використовувати і простіший прийом, якщо згадати, що при втраті стійкості на довжині стрижня повинна укладатися одна напівхвиля синусоїди.

Розглянемо деякі характерні випадки закріплення стрижня по кінцях та отримаємо загальну формулу для різних видів закріплення.

1. Стрижень завдовжкиlзакріплений у жорсткому закладенні і стиснутий поздовжньою силою (рис.8.4,а). З порівняння виду вигнутої осі балки для аналізованого та основного випадків можемо зробити висновок, що вісь стрижня, защемленого одним кінцем, знаходиться в тих же умовах, як і верхня половина шарнірно опертого стрижня довжиною 2 · 2 l . Таким чином, критична сила для стрижня завдовжкиlз одним защемленим кінцем може бути знайдена так само, як і для шарнірно опертої балки завдовжки 2·l, тобто

. (8.6)

2. Стрижень завдовжкиl, у якого обидва кінці жорстко защемлені (рис.8.4,б). Середня частина стрижня з двома жорстко защемленими кінцями знаходиться в тих же умовах, що і шарнірно оперта балка довжиноюl/2. Таким чином, критична сила для стрижня завдовжкиlз двома защемленими кінцями може бути визначена так само, як і для шарнірно опертої балки завдовжкиl/2, тобто

. (8.7)

3. Стрижень довжиноюl, у якого один кінець жорстко замурований, а інший шарнірно оперт (рис.8.4,в). Критична сила для стрижня завдовжкиlсзащемленим і шарнірно опертим кінцями може бути визначена так само як і для шарнірно опертої балки довжиною 0,7·2 3, тобто

. (8.8)

Усі отримані рішення можна поєднати в одну загальну формулу

, (8.9)

де ·l=lпр – наведена довжина стрижня;l- фактична довжина стрижня; - Коефіцієнт наведеної довжини, що показує у скільки разів необхідно змінити довжину стрижня, щоб критична сила для цього стрижня стала дорівнює критичній силі для шарнірно опертої балки. (Інша інтерпретація коефіцієнта наведеної довжини: показує, на якій частині довжини стрижня для цього виду закріплення укладається одна напівхвиля синусоїди при втраті стійкості.)

8.4. Критичні напруження. Розрахунок на стійкість стрижня при пружно-пластичних деформаціях

Введемо поняття критичної напруги, тобто напруги, що відповідає критичній силі при втраті стійкості стисненого стрижня

. (8.10)

Згадаймо, що квадрат мінімального радіусу інерції. Тоді формулу (8.10) можна записати так:

(8.11)

(8.12)

називається гнучкістю стрижня.

(8.13)

Як бачимо, критичне напруження залежить тільки від пружних властивостей матеріалу (модуля ЮнгаE) та гнучкості стрижня. При цьому залежність між σкр і може бути представлена ​​гіперболічною кривою, яка називається гіперболою Ейлера.

---