Замкнутість - безліч - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 3
Замкнутість - безліч
З опуклості f(x) випливає опуклість множини Ес, а з напівбезперервності знизу f(x) згідно з лемою 8.1 випливає замкнутість множини Ес. [31]
У цих роботах, як і в теоремі 4.2.3, було доведено, що опуклість відповідних множин є необхідною і достатньою умовою замкнутості множини всіх рішень. [32]
Так як ця послідовність, очевидно, є обмеженою, то з неї можна виділити схожу підпослідовність, межа якої а, в силу замкнутості множини Л, в ньому міститься. Але тоді, враховуючи безперервність функції р(а, Ь), маємо р(а, Ь) р, причому р00, оскільки а еЛ, а точка Ь за умовою не належить цій множині. Це завершує підтвердження леми. [33]
Таким чином, доказ кожного із тверджень (1), (2) зводиться до перевірки того, що майже слабка замкнутість векторного підпростору М тягне за собою слабку замкнутість множини L . Так як простір Е абсолютно (або 5Г -) повно, то достатньо довести майже слабку замкнутість множини L. За УМОВ безліч V - u ( U) є околиця нуля в F, тому безліч М П V0 слабо замкнуто. Можна вважати, що околиця U опукла, врівноважена та замкнута. [34]
Як ще одна пропозиція, встановлена Бером із зверненням до існування числа другого класу, більшого за всіх чисел заданої послідовності порядкових чисел першого та другого класів, можна вказати берівську теорему про замкнутість безлічі функцій усіх класів його класифікації щодо операції граничного переходу всюди (с. [35 ]
Якщо безліч Qs не порожня, але обмежена, воно необхідно замкнуто. Це випливає із замкнутості множини Q (Y) ID Qs, а також звизначального рівності для особливих точок X2 (х, у) У2 (х, у) 0, де функції Х (х у) та Y (x y) безперервні. Однак може бути, що fi (v) міститься одна або кілька регулярних граничних характеристик Г, які, природно, незамкнені. [36]
Але безліч Fk попарно не перетинаються. Fk і, через замкнутість множини Fk , точка х0 не є і граничною точкою цієї множини. [37]
Вище було дано (див. визначення 8) поняття щодо відкритої та щодо замкнутої множини. Підкреслимо ще раз, що поняття відкритості або замкнутості множини відносні в тому сенсі, що те саме може бути відкритим в одному просторі і не бути відкритим в іншому метричному просторі, що містить перше. [38]
До мов, як і до різних множин, можуть бути застосовані різні операції. Перш ніж розглядати операції над мовами, визначимо властивість замкнутості множини. Кажуть, що множина замкнута щодо деякої операції, якщо результат застосування її до будь-якого елемента множини або до будь-якої пари елементів міститься в цій множині. [39]
З доведених властивостей множини F випливає (оскільки є період), що всі числа транспортних засобів, де т - ціле, також є періодами. Таким чином, довільне число с0 є граничним для множини F, і тому, зважаючи на замкнутість множини F , STO множина збігається з множиною всіх дійсних чисел. [40]
Руффіні (1799 і пізніше), присвячених доказу нерозв'язності рівняння 5-го ступеня в радикалах, систематично використовується замкнутість безлічі підстановок щодо їх множення і, по суті, описані підгрупи всіх підстановок п'яти символів. [41]
Визначивши знову поняття точки конденсації (с. спочатку за допомогою методупослідовних поділів області, що містить розглянуту множину Р, доводить існування хоча б однієї точки конденсації; потім встановлює замкнутість безлічі точок конденсації; далі, методом Фрагмена виявляє рахунок безлічі точок з Р, що не є точками коденсації; нарешті, знаходить, що безліч точок конденсації не містить ізольованих точок, отже, зовсім. Щодо цермеловості цей доказ такий самий, як і попередній. [42]
Розглянемо справді ефективні оцінки та рішення. У попередньому параграфі (див. теорему 1.16) рівність множин справді і власне ефективних точок було встановлено при певних припущеннях, серед яких була умова замкнутості множини У. Як показує нижченаведена теорема, у разі ефективно опуклої (і не обов'язково замкнутої) У рівність зазначених має місце. [43]
Це означає, що афінне відображення / має в цьому випадку зворотне відображення f - також є афінним. Якщо невироджене афінне відображення f простору R на простір 5 трактувати як перетворення координат у просторі R, при якому змінюється поняття про відстань, то бачимо, що топологічні властивості (відкритість і замкнутість множин) не залежать від системи координат, через яку визначається відстань між точками . [44]
Те ж нерівність (3.31) означає, що збіжність послідовності gn (x), n l, рівномірна x (-) Vi. Тому, відповідно до властивості (а), відображення g: tt - Li (T, X) безперервно. Враховуючи замкнутість множини (х) і (3.30), отримуємо, що g (x) (x) для кожного я (-) і. [45]