Застосування методу індукції як способу формування у школярів метапредметних знань

Розділи: Математика

Методологія в рівній мірі визначає ефективність пізнавальної та перетворюючої діяльності в різних видах активності людини: природничо і гуманітарному знанні, у технічній творчості, у розробці технологій, і навіть у вирішенні складних побутових питань. Ось чому ці знання в сучасній педагогічній літературі прийнято називати метазнаннями. Наприклад, такі поняття, як абстракція, аналіз, аналогія, якість, кількість, константність, визначення, протиріччя, властивість, зв'язок, система, структура, факт і т.п. використовують різноманітні науки. Те саме можна сказати і про загальнонаукові методи пізнання: аналогію, класифікацію, індукцію, системний метод і т.д. Такі загальнонаукові принципи, як оборотність, додатковість, симетрія, збереження входять до складу багатьох наук.

Зупинимося докладніше метод індукції. Як відомо, метод індуктивних міркувань свої витоки черпає з філософських уявлень, які стосуються рівня загальнонаукових методів знань. Важливість вивчення загальнонаукових методів у тому, що вивчивши їх у межах одного предмета, учень може перенести його на вирішення завдань інших предметів. У цьому полягає творчий, інтелектуальний розвиток учня.

Розглянемо приклади, що ілюструють застосування методу математичної індукції. Взагалі,доказ методом математичної індукції складається з наступних двох частин:

1°.Перевірки, що висловлене твердження справедливе для найменшого значення п, для якого воно має сенс (зрозуміло, цим значенням п не обов'язково є одиниця);

2 °.Докази, що якщо це твердження справедливе для якогось натурального числа п=k, воно справедливе і для безпосередньо наступного числап=k+1.

Приклад 1. Обчислити суму.

Рішення. Зауважимо, що .

Розгляд сум S1, S2, S3 і S4 дозволяє висловити гіпотезу, що з будь-якому натуральному n. Для перевірки гіпотези скористаємося методом математичної індукції.

Крок 1. Для n = 1 гіпотеза вірна, оскільки

Крок 2. Припустимо, що гіпотеза правильна й у n = k, тобто. що. Доведемо, що тоді гіпотеза мусить бути правильної й у n = k+1, тобто. що

Отже, за умовою теореми,

Обидва кроки доведені. Тепер на основі принципу математичної індукції ми стверджуємо, що.

Приклад 2. На скільки трикутників n-кутник (не обов'язково опуклий) може бути розбитий своїми діагоналями, що не перетинаються?

Крок 1. Для трикутника це число дорівнює одиниці (у трикутнику не можна провести жодної діагоналі); для чотирикутника це число одно, очевидно, двом (див. рисунок 2,аіб).

Крок 2. Припустимо, що ми знаємо, що кожен n-кутник, деk

Малюнок 2

Приклад 3.Довести тотожність

cos()cos(2) cos(4)…cos(2 n ) = sin(2 n+1 )/2 n+1 sin.

Крок 1. При n = 0 тотожність справедлива, оскільки cos() = sin (2)/2sin()

Крок 2. Нехай тотожність справедлива при n = k, тобто. cos ()cos (2) … cos(2 k) = sin(2 k+1)/2 k+1 sina . Тоді воно справедливе і за n = k +1. Справді, cos()cos(2) … cos(2 k)cos(2 k+1) = sin(2 k+1)cos(2 k+1)/2 k+1 sin= =sin(2 k+2) /2 k+2 sin.

Вочевидь, що застосування методу математичної індукції дуже широко різних розділах математики шкільного курсу. Зокрема, йогозастосовують:

1) у завданнях на підсумовування та для доказу тотожностей;

2) до підтвердження нерівностей;

3) до завдань на ділимість;

4) вивчення властивостей числових послідовностей;

5) у геометрії:

для обчислення з індукції;
для підтвердження індукції;
для побудови з індукції;
для знаходження геометричних місць індукції;
для визначення індукції;
для індукції за кількістю вимірів.

Тому вчителям, які працюють у класах з поглибленим вивченням математики та вивченням математики на профільному рівні, варто звернути особливу увагу на вивчення цього методу на уроках, курсах, факультативах. Треба постійно й терпляче привчати своїх учнів до самостійної діяльності з використання цього, поступово ускладнюючи завдання. Починати треба з найпростішого, відпрацювати алгоритм у нескладних випадках, коли потрібно довести якесь твердження (формулу), а потім переходити до вирішення таких завдань, передусім треба побудувати гіпотезу. Щоб висунути гіпотезу треба надатиnпослідовно значення від найменшого і до того часу, поки ми накопичиться достатньо матеріалу, щоб основі його побудувати більш менш надійну гіпотезу. Після цього залишиться лише цю гіпотезу перевірити методом математичної індукції.

Наведемо приклад використання індукції у шкільному курсі інформатики під час вирішення завдань обробки лінійних таблиць. У підручнику "Основи інформатики та обчислювальної техніки", А.Г. Кушніренко та ін. наводиться кілька прикладів алгоритмів обробки табличних величин. При цьому кожен алгоритм розглядається як окреме завдання і не акцентується увага на тому загальному, що пов'язує ці завдання,крім способу представлення даних. Якщо ж звернути увагу до функції, значення яких ми обчислюємо, використовуючи таблиці, можна побачити, що це - чи індуктивні функції, чи розширення індуктивних функций. А в такому випадку можна провести паралелі між методами обчислення індуктивних функцій та алгоритмами обробки таблиць.

Викладаючи навчальний матеріал з погляду індукції, на початку треба підвести учнів до побудови загальної схеми алгоритму.

Ще один важливий момент, на який треба звернути увагу, – це ефективність програми. Тут слід зазначити, що використання індуктивних функцій дає оптимальну програму.

При вирішенні конкретних завдань, пов'язаних із послідовностями (таблицю можна розглядати як послідовність елементів), можливі різні стратегії. Наприклад, завдання "знайти число максимальних елементів послідовності" можна вирішувати так: спочатку перебрати всі елементи послідовності і знайти максимум, потім перебрати елементи послідовності ще раз і підрахувати кількість елементів, рівних знайденому максимуму. Кожен перебір всіх елементів послідовності називається проходом. Загальні стратегії (алгоритми) роботи з послідовностями прийнято класифікувати за кількістю проходів та називати однопрохідними, двопрохідними тощо. Одне й те завдання можна вирішувати за різне число проходів. Схема індуктивного обчислення функцій просторі послідовностей завжди призводить до однопрохідного алгоритму, тобто. алгоритм, який читає елементи послідовності від початку до кінця по одному разу кожен. Зазвичай однопрохідні алгоритми виконуються швидше, ніж багатопрохідні. Таким чином, індуктивне обчислення є оптимальним за швидкістю.

Мінімальність індуктивного розширення означаємінімальна пам'ять, тобто. за обсягом інформації, що зберігається у процесі обчислення. Метод індуктивного обчислення значення функцій застосовується і до функцій, заданих інших програмних структурах. Правильно підібраний матеріал підтримує стійкий інтерес всіх учнів, розширює системні засоби, що використовуються учнями. Розглядаючи завдання з реальним змістом, можна принагідно знайомити учнів із різними видами професійної діяльності.

Вивчаючи індукцію у шкільництві як щодо математики та інформатики, учні можуть широко використовувати цей метод під час написання науково- досліджень. Тому актуально вивчити повну та неповну індукцію учням різних профілів на елективному курсі “Основи дослідницької діяльності”. Починається індукція зазвичай з аналізу та порівняння даних спостереження чи експерименту. При цьому, у міру розширення множини цих даних, може виявитися регулярна повторюваність будь-якої властивості або відношення. Спостерігається в досвіді багаторазовість повторення за відсутності винятків вселяє впевненість у її універсальності і природно призводить до індуктивного узагальнення - припущення, що саме так буде справи у всіх подібних випадках. Якщо ці випадки вичерпуються вже розглянутими досвіді, то індуктивне узагальнення повне. Якщо ні, то не варто поспішати з висновками.

Також відомо, що багато індуктивних узагальнень мають основу не тільки в спостереженнях, а й у чисто умоглядних принципах, на кшталт принципу інерції або узагальненого принципу відносності, які входять до формулювання теорій і приймаються як аксіоми нашої наукової картини світу, і за допомогою яких вже чисто логічним шляхом виводяться як індуктивні узагальнення, і твердження про їх наслідки - наблюдаемыхявищах.

Я абсолютно впевнена, що застосовується метод індукції та щодо інших предметів шкільного курсу (зокрема гуманітарного циклу). Доповнюючи одне одного, вивчення наших предметів допоможе формувати в учнів загальнонаукові поняття, принципи, методи та вміння застосовувати їх у різних предметах. Тільки активно взаємодіючи один з одним, ми досягнемо підвищення творчих можливостей учнів.