Застосування монотонності функцій
Властивості монотонних функцій, особливо пов'язані з операціями над функціями, є виключно ефективними для вирішення завдань. Ці властивості є простими наслідками властивостей числових нерівностей.
Розглянемо дві зростаючі функції у = f (x) і y = g (х). Так як нерівності одного знака можна почленно складати, то af(a) f(a)+g(a)
сума двох зростаючих функцій є функцією, що зростає.
Можна міркувати і менш формально. Справді, очевидно, що х збільшується, то значення зростаючих функцій f(x) і g(x) також збільшуються, отже, збільшується та його сума.
Зауважимо, що різниця зростаючих функцій не повинна бути зростаючою, наприклад, різниця функцій у = х і у = 2х - спадна, а різниця функцій у = x і у = х 2 взагалі не є монотонною.
Нерівності з невід'ємними членами можна почленно перемножувати, отже,
добуток двох зростаючих функцій, що приймають лише невід'ємні значення, є функцією, що зростає.
Не менш очевидна і така властивість:
якщо функція у=f(x) — зростаюча (зменшується), то функція у=af(x)+с при а>0 — зростаюча (зменшується), а при а
Для підтвердження якості
якщо функція у = f (x) - зростаюча і набуває тільки позитивних значень, то функція - f (x) спадна,
достатньо послатися на відомевластивість дробів з позитивними знаменниками.
Таких корисних властивостей можна сформулювати занадто багато, щоб їх можна було запам'ятати, і вони настільки тісно пов'язані з властивостями нерівностей, що краще «винаходити» їх у кожному конкретному випадку. Наприклад:
- якщо функція у=f(x) монотонна, то протилежна їй функція у=-f(x) також монотонна, але маєінший характер монотонності;
- складна функція, складена з двох зростаючих функцій, є зростаючою.
При вирішенні рівнянь і нерівностей дуже ефективне застосування наступних теорем:
- якщо функція у = f (x) - зростаюча (зменшується), то рівняння f (x) = а має не більше одного рішення;
- якщо функція у = f (x) - зростаюча (зменшується), а функція у = g (x) - убування (зростаюча), то рівняння f (x) = g (x) має не більше одного рішення.
Їхня графічна інтерпретація настільки переконливо показує їхню істинність, що може, на наш погляд, розглядатися як їхній доказ.